и второе слагаемое представляется уже (
n
−
1
)-мерной суммой
p
p
−
1
X
i
n
=0
p
−
1
X
i
n
−
1
=0
. . .
p
−
1
X
i
2
=0
cos
2
π
p
n
X
m
=3
(
k
m
−
λ
m
)
i
m
+
2
π
p
(
k
2
−
λ
2
)
i
2
.
Внутренняя сумма этого выражения в зависимости от значений
k
2
и
λ
2
либо будет равна нулю, либо
p
, что снова приведет к уменьшению размер-
ности представления второго слагаемого в общем выражении (9). Поскольку
k
6
=
λ
, то обязательно хотя бы одни значения
k
m
и
λ
m
не будут равны меж-
ду собой. Поэтому и эта многомерная сумма в конечном счете также станет
равной нулю. Таким образом, условие ортогональности доказано.
Используя свойства 5 и 6, можно записать свойство ортонормированности
ОФХ:
1
N
N
−
1
X
i
=0
Cas
(
k, i
)
Cas
(
λ, i
) =
(
1
, k
=
λ,
0
, k
6
=
λ.
7. Объединение
N
первых ОФХ приводит к полной ортонормированной
базисной системе, пригодной для представления любых решетчатых сиг-
налов конечной мощности, определенных на дискретном интервале
[0
, N
)
.
Полнота системы обеспечивается тем, что к ней невозможно добавить ни
одной новой функции, которая была бы ортогональна ко всем остальным.
Системы дискретных ОФХ удобно записывать в виде матриц
C
их зна-
чений. Эти матрицы будут симметрическими и ортогональными. Обратные к
ним матрицы будут совпадать с прямыми с точностью до постоянного мно-
жителя
1
/N
:
C
−
1
=
C
/N
. Свойства матриц ОФХ одинаковы для строк и
столбцов (в силу их симметричности). Матрицы содержат ровно
p
различ-
ных действительных элементов. Элементы нулевых строк и столбцов равны
единице.
Для фиксированных значений
p
возможны матрицы ОФХ, отличающие-
ся порядком следования строк и столбцов, т.е. другими словами, возможны
различные способы упорядочения функций
Cas
(
k, i
)
в системе. Это свойство
матриц ОФХ подобно аналогичному свойству матриц значений ВКФ [4, 7] и
позволяет значительно расширить ассортимент действительных тригономе-
трических базисов.
Изменение порядка следования функций в базисной системе достигает-
ся путем применения различных замкнутых операций переупорядочения к
номерам базисных функций. Наибольшее распространение получили опера-
ции инвертирования
p
-ичных кодов чисел
k
и их обобщенное кодирование
Грея [4,6]. Применим их к ОФХ.
Базисная система ОФХ, описываемая выражениями (2) и (3), отличается
тем, что структура ее матрицы значений имеет блочный характер. Подоб-
ным свойством обладает матрица ВКФ для упорядочения Адамара [4]. По
аналогии с ней и базисную систему ОФХ (2), (3) целесообразно назвать
обобщенной системой Хартли – Адамара. Заменяя в этой системе прямой код
68 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 2
