в обозначении обобщенных функций Хартли (ОФХ) (2) использовано обо-
значение обычных функций Хартли, записанное с заглавной буквы. Из раз-
вернутой записи ОФХ в виде выражения (2) с помощью известных триго-
нометрических преобразований можно получить полезное более сжатое их
представление:
Cas
(
k, i
) =
√
2 sin
2
π
p
n
X
m
=1
k
m
i
m
+
π/
4 =
=
√
2 cos
2
π
p
n
X
m
=1
k
m
i
m
−
π/
4
.
(3)
Записанные таким образом ОФХ имеют ряд интересных свойств. Приве-
дем основные из них.
1. ОФХ являются действительными функциями, принимающими только
p
различных значений. Справедливость этого свойства следует из самого
аналитического описания ОФХ в виде (2) или (3).
2. В ОФХ переменные
k
и
i
являются равноправными, поэтому, если их
поменять местами, функция не изменится, т.е.
Cas
(
k, i
) =
Cas
(
i, k
)
.
В этом проявляется свойство двойственности ОФХ относительно своих
аргументов, которое приводит к симметричности матрицы значений ОФХ.
3. ОФХ являются периодическими функциями с периодом
N
=
p
n
,
n
= 1
,
2
, . . . .
Это свойство следует из того, что при смещении числа
i
на
N
единиц
младшие
n
разрядов в
p
-ичном представлении числа остаются без изменения.
4. Среднее значение любой ОФХ, кроме нулевой, равно нулю, т.е.
1
N
N
−
1
X
i
=0
Cas
(
k, i
) = 0
, k
6
= 0
.
(4)
Действительно
1
N
N
−
1
X
i
=0
Cas
(
k, i
) =
√
2
N
N
−
1
X
i
=0
sin
2
π
p
n
X
m
=1
k
m
i
m
+
π/
4 =
=
√
2
N
p
−
1
X
i
n
=0
p
−
1
X
i
n
−
1
=0
. . .
p
−
1
X
i
1
=0
sin[(
2
π
p
n
X
m
=2
k
m
i
m
+
π/
4) +
2
π
p
k
1
i
1
]
.
(5)
Рассмотрим в этом выражении внутреннюю сумму по индексу
i
1
. Она
является табличной и представляется в виде произведения трех сомножите-
лей [12]:
p
−
1
X
i
1
=0
sin
2
π
p
n
X
m
=2
k
m
i
m
+
π/
4 +
2
π
p
k
1
i
1
=
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 2 65
