P
y
(
k
) =
1
2
[
Y
2
X
(
k
) +
Y
2
X
(
−
k
)] =
1
2
[
X
2
X
(
k
) +
X
2
X
(
−
k
)] =
P
x
(
k
)
.
Теорема 5 доказана. Она свидетельствует об инвариантности энергетических
характеристик сигнала в базисе ОФХ относительно его обобщенного сдвига
по оси дискретного времени.
Теорема 6. Об умножении сигналов.
В базисе ОФХ спектр сигнала —
произведения двух других сигналов представляется сумой обобщенных свер-
ток спектров этих сигналов.
Доказательство.
Пусть сигналы
x
(
i
)
,
y
(
i
)
и
u
(
i
)
имеют одинаковый ин-
тервал определения
[0
, N
)
и
y
(
i
)
=
x
(
i
)
u
(
i
)
.
В базисе ВКФ спектры этих сигналов связаны между собой соотношени-
ем обобщенной свертки [4], т.е.
Y
BK
(
k
) =
N
−
1
X
λ
=0
X
BK
(
λ
)
U
BK
(
λ k
)
.
(24)
Но в соответствии с выражением (19)
X
BK
(
λ
) =
X
X
(
λ
) +
X
X
(
−
λ
)
2
−
j
X
X
(
λ
)
−
X
X
(
−
λ
)
2
,
U
BK
(
λ k
) = (
U
X
(
λ k
) +
U
X
(
−
(
λ k
)))
/
2
−
−
j
(
U
X
(
λ k
)
−
U
X
(
−
(
λ k
)))
/
2
.
Поэтому с учетом этих соотношений из общей формулы (24) после преобра-
зований получаем
Y
BK
(
k
) =
1
4
N
−
1
X
λ
=0
n
[
X
X
(
λ
) +
X
X
(
−
λ
)][
U
X
(
λ k
) +
U
X
(
−
(
λ k
))]
−
−
[
X
X
U
)
−
X
X
(
−
λ
)][
U
X
(
λ k
)
−
U
X
(
−
(
λ k
))]
o
−
−
j
1
4
N
−
1
X
λ
=0
n
[
X
X
(
λ
) +
X
X
(
−
λ
)][
U
X
(
λ k
)
−
U
X
(
−
(
λ k
))]+
+ [
X
X
(
λ
)
−
X
X
(
−
λ
)][
U
X
(
λ k
))] +
U
X
(
−
(
λ k
))]
o
.
Выделяя в комплексном спектре
Y
BK
(
k
)
действительную и мнимую части и
суммируя их, получаем спектр сигнала
y
(
i
)
в базисе ОФХ:
Y
X
(
k
) =
1
2
"
N
−
1
X
λ
=0
X
X
(
λ
)
U
X
(
−
(
λ k
)) +
N
−
1
X
λ
=0
X
X
(
−
λ
)
U
X
(
λ k
)+
+
N
−
1
X
λ
=0
X
X
(
λ
)
U
X
(
λ k
)
−
N
−
1
X
λ
=0
X
X
(
−
λ
)
U
X
(
−
(
λ
))
#
.
Этот спектр выражается сумой четырех обобщенных сверток спектров
Хартли сигналов-сомножителей.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 2 75
