= sin
2
π
p
n
X
m
=2
k
m
i
m
+
π
4
+
π
p
(
p
−
1)
k
1
sin(
πk
1
) cos
ec
π
p
k
1
.
Но средний сомножитель
sin(
πk
1
)
в ней при целых значениях
k
1
равен ну-
лю, поэтому будет равна нулю внутренняя сумма по индексу
i
1
и, как след-
ствие, — вся многомерная сумма выражения (5). Следовательно, соотношение
(4) справедливо.
Среднее значение нулевой ОФХ равно единице, так как
Cas
(0
, i
) = 1
и
1
N
N
−
1
X
i
=0
1 = 1
.
5. Мощность
P
k
любой
k
-й ОФХ равна единице:
P
k
=
1
N
N
−
1
X
i
=0
h
Cas
(
k, i
)
i
2
= 1
.
(6)
Для доказательства этого свойства представим квадрат ОФК с учетом
соотношений (3) в виде
h
Cas
(
k, i
)
i
2
= 2 sin
2
π
p
n
X
m
=1
k
m
i
m
+
π
4
cos
2
π
p
n
X
m
=1
k
m
i
m
−
π
4
,
а затем воспользуемся формулой преобразования произведения тригономе-
трических функций в их сумму. Тогда получим
h
Cas
(
k, i
)
i
2
= 1 + sin
4
π
p
n
X
m
=1
k
m
i
m
.
С учетом этого результата мощность
P
k
можно записать так:
P
k
= 1 +
1
N
N
−
1
X
i
=0
sin
4
π
p
n
X
m
=1
k
m
i
m
=
= 1 +
1
N
p
−
1
X
i
n
=0
p
−
1
X
i
n
−
1
=0
. . .
p
−
1
X
i
1
=0
sin
4
π
p
n
X
m
=1
k
m
i
m
.
(7)
В выражении (7) внутренняя сумма по индексу
i
1
также табличная и тоже
равна произведению
sin
4
π
p
n
X
m
=2
k
m
i
m
+
2
π
p
+
π
p
(
p
−
1)
k
1
sin(2
πk
1
) cos
ec
2
π
p
k
1
,
которое из-за сомножителя
sin(2
πk
1
)
равно нулю при любом значении
k
1
.
Поэтому вся многомерная сумма в уравнении (7) также будет равна нулю и
P
k
= 1
. Справедливость соотношения (6) доказана.
6. Обобщенные функции Хартли являются ортогональными функциями,
т.е.
1
N
N
−
1
X
i
=0
Cas
(
k, i
)
Cas
(
λ, i
) = 0
, k
6
=
λ.
(8)
66 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 2
