оказаться параметрические базисные функции, содержащие в своей структу-
ре один или несколько изменяемых параметров, влияющих на их свойства.
Известным и важным примером таких базисов служит класс комплексных
экспоненциальных функций Виленкина – Крестенсона (ВКФ) [4, 6], упра-
вление свойствами которых осуществляется с помощью вариации основания
используемой системы счисления. Изменяя величину основания и выбирая
различные способы переупорядочения ВКФ, с их помощью можно полу-
чить широкое семейство полезных мультипликативных ортонормированных
систем, для которых справедливы все теоремы спектрального анализа и су-
ществуют быстрые процедуры вычисления спектра [4, 6—9].
Однако, несмотря на указанные достоинства систем ВКФ, их комплекс-
ный характер требует использования в алгоритмах ЦОС трудоемкой ком-
плексной арифметики, что может послужить весомым ограничением при
практическом применении ВКФ, особенно при обработке высокочастотных
многоразмерных сигналов в системах обработки жесткого реального мас-
штаба времени. Поэтому целью настоящей работы поставлено решение
теоретико-прикладной задачи синтеза и анализа нового действительного па-
раметрического базиса со свойствами, близкими к свойствам базисов ВКФ,
но оперирующего с вещественными числами и операциями. В основе мате-
матического подхода к разработке такого базиса положена процедура Хартли,
использованная им при создании вещественной альтернативы комплексным
экспоненциальным функциям Фурье, состоящим из обычных тригономе-
трических функций [10, 11], и распространенная здесь на обобщенные
тригонометрические функции, образующие мнимые и действительные части
ВКФ.
Обобщенные функции Хартли и их свойства.
Пусть
р
есть про-
извольное целое положительное число, принятое в качестве основания
системы счисления, а целые числа
k
и
i
задают соответственно номер и
аргумент обобщенных тригонометрических функций
cos
2
π
p
n
X
m
=1
k
m
i
m
и
sin
2
π
p
n
X
m
=1
k
m
i
m
, используемых в ВКФ [4, 7], и на интервале из
N
=
p
n
точек имеют позиционные
n
-разрядные представления
k
=
n
X
m
=1
k
m
p
m
−
1
, i
=
n
X
m
=1
i
m
p
m
−
1
,
(1)
где
k
m
и
i
m
являются
m
-ми разрядами этих представлений и лежат в диапа-
зоне [
0
, p
−
1
]. Тогда из этих тригонометрических функций можно образовать
следующие дискретные функции:
Cas
(
k, i
) = cos
2
π
p
n
X
m
=1
k
m
i
m
+ sin
2
π
p
n
X
m
=1
k
m
i
m
,
(2)
представляющие собой обобщение известных функций Хартли [10, 11] на
систему счисления с произвольным основанием. Для отражения этого факта
64 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 2
