−
X
X
(
−
k
)
U
X
(
−
k
) =
=
N
2
[
X
X
(
k
) +
X
X
(
−
k
)]
U
X
(
k
) + [
X
X
(
k
)
−
X
X
(
−
k
)]
U
X
(
−
k
)
.
Эта зависимость представляет собой математическое описание теоремы об
обобщенной свертке на языке спектров Хартли.
Теорема 3 доказана. Видно, что ее запись в базисе ОФХ сложнее, чем в
базисе ВКФ. В частном случае, когда один или оба свертываемых сигнала
являются либо четными, либо нечетными относительно середины интервала
определения, запись теоремы 3 о свертке в базисах ОФК и ВКФ совпадает.
Это cвязано с тем, что в этом случае спектры Хартли также являются четными
или нечетными функциями номера
k
. Так, например, для четного сигнала
x
(
i
) =
x
(
N
−
i
)
и
X
X
(
k
) =
X
X
(
−
k
)
, поэтому
Y
X
(
k
) =
NX
X
(
k
)
U
X
(
k
)
.
Теорема 4. О корреляции.
Спектр Хартли обобщенной корреляционной
функции сигнала равен спектру мощности этого сигнала
.
Доказательство.
Если обобщенная корреляционная функция двух сигна-
лов имеет вид
y
(
i
) =
1
N
N
−
1
X
λ
=0
x
(
λ
)
x
(
λ i
)
,
то ее спектр в базисе ВКФ совпадает со спектром мощности этого сигнала [4]:
Y
BK
(
k
) =
X
BK
(
k
)
X
BK
(
k
)
.
Используя уравнение (19), это энергетическое соотношение можно записать
и в базисе ОФК:
Y
X
(
k
) =
1
2
[
X
2
X
(
k
) +
X
2
X
(
−
k
)]
.
Теорема 4 доказана.
Теорема 5. О независимости спектра мощности и энергетического
спектра сигнала от его обобщенного сдвига по оси времени.
Спектр мощ-
ности и энергетический спектр сигнала в базисе Хартли не изменяются при
его обобщенном сдвиге по оси времени
.
Доказательство.
Пусть сигнал
y
(
i
)
получают из сигнала
x
(
i
)
путем его
обратного обобщенного сдвига на время
τ
, т.е.
y
(
i
) =
x
(
i τ
). Энерге-
тический спектр и спектр мощности этого сигнала в базисе ВКФ имеют
следующий вид записи [4]:
S
y
(
k
) =
1
N
Y
BK
(
k
)
Y
BK
(
k
) =
1
N
X
BK
(
k
)
X
BK
(
k
)
,
P
y
(
k
) =
NS
y
(
k
) =
Y
BK
(
k
)
Y
BK
(
k
) =
X
BK
(
k
)
X
BK
(
k
)
.
Подставляя в эти формулы вместо спектров Виленкина – Крестенсона их
представления в виде спектров ОФХ (19), после преобразования получаем
S
y
(
k
) =
1
2
N
[
Y
2
X
(
k
) +
Y
2
X
(
−
k
)] =
1
2
N
[
X
2
X
(
k
) +
X
2
X
(
−
k
)] =
S
x
(
k
)
,
74 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 2
