номерами — четными, а составляющие спектра с отрицательными номера-
ми — нечетными тригонометрическими функциями). Сами спектры сдвину-
того сигнала в этом случае выражаются при прямом сдвиге через разность,
а при обратном сдвиге — через сумму модулированных составляющих.
Теорема 2. О модуляции сигнала базисной функцией.
Умножение сиг-
нала на базисную функцию приводит к изменению порядка следования его
спектральных составляющих
.
Доказательство.
Пусть сигнал
y
(
i
)
получается путем умножения сигнала
x
(
i
)
на базисную функцию
Cas
(
λ, i
)
. Тогда
Y
X
(
k
) =
1
N
N
−
1
X
i
=0
[
x
(
i
)
Cas
(
λ, i
)]
Cas
(
k, i
)
.
Используя развернутую запись ОФХ в виде (2) и применяя известные триго-
нометрические теоремы, после преобразования получаем
Y
X
(
k
) =
1
2
[
X
X
(
k
+
λ
) +
X
X
(
k
−
λ
) +
X
X
(
λ
−
k
)
−
X
X
(
−
k
−
λ
)]
.
(23)
Теорема 2 доказана. Из нее следует, что при модулировании сигнала ба-
зисной функцией сам спектр сигнала не меняется, но меняется порядок его
следования.
Теорема 3. О свертке.
Спектр Хартли сигнала, являющегося резуль-
татом обобщенной свертки двух других сигналов, равен с точностью до
постоянного множителя произведению спектров этих сигналов
.
Доказательство.
Пусть сигнал
y
(
i
)
есть обобщенная свертка двух сигна-
лов
x
(
i
)
и
u
(
i
)
:
y
(
i
) =
N
−
1
X
λ
=0
x
(
λ
)
u
(
λ i
)
.
В базисе ВКФ спектр такой свертки равен [4]
Y
BK
(
k
) =
NX
BK
(
k
)
U
BK
(
k
)
.
Используя связь спектров Виленкина – Крестенсона и Хартли в форме урав-
нения (19), из этой формулы после преобразования получаем
Y
BK
(
k
) =
N
4
n
[
X
X
(
k
) +
X
X
(
−
k
)][
U
X
(
k
) +
U
X
(
−
k
)]
−
−
[
X
X
(
k
)
−
X
X
(
−
k
)][
U
X
(
k
)
−
U
X
(
−
k
)]
o
−
−
j
N
4
n
[
X
X
(
k
) +
X
X
(
−
k
)][
U
X
(
k
)
−
−
U
X
(
−
k
)] + [
X
X
(
k
)
−
X
X
(
k
)][
U
X
(
k
) +
U
X
(
−
k
)]
o
,
откуда следует, что
Y
X
(
k
) =
N
2
X
X
(
k
)
U
X
(
−
k
) +
X
X
(
−
k
)
U
X
(
k
) +
X
X
(
k
)
U
X
(
k
)
−
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 2 73
