5 / 15
K
1
= B
−
1
A
1
−
Φ
1
B
−
1
,
B
−
1
= K
2
B
⊥
1
+ B
+
1
, . . .
;
(13)
K
k
= B
−
k
A
k
−
Φ
k
B
−
k
,
B
−
k
= K
k
+1
B
⊥
k
+ B
+
k
, . . .
;
(14)
K
L
= B
−
L
A
L
−
Φ
L
B
−
L
,
(15)
тогда
eig
(A
−
BK) =
L
+1
[
i
=1
eig
(Φ
i
−
1
)
.
(16)
Из теоремы 2 следует, что закон управления (5) с матрицей
K
∈
R
r
×
n
, удовлетворяющей соотношениям (12)–(15), обеспечива-
ет выполнение условия (16), т.е. заданного размещения полюсов.
Аналитический синтез законов управления и их параметри-
зация.
В соответствии со сказанным введем в рассмотрение двух-
уровневую декомпозицию системы (2), поскольку
L
=
floor
(
n/r
) = 2
,
учитывая, что в нашем случае ранг каждой вводимой матрицы
B
0
и
B
1
совпадает с соответствующим числом столбцов, получаем:
нулевой уровень
A
0
=
A
=
a
11
a
12
a
13
a
14
a
21
a
22
a
23
0
a
31
a
32
a
33
0
0 1
a
43
0
,
B
0
= B =
0 0
b
21
b
22
b
31
b
32
0 0
,
(17)
первый уровень
A
1
= B
⊥
0
A
0
B
⊥
+
0
,
B
1
= B
⊥
0
A
0
B
0
.
(18)
B
⊥
+
0
— псевдообратная матрица Мура – Пенроуза для
B
⊥
0
[3–7].
Зададим матрицы
Φ = Φ
0
,
Φ
1
таким образом, чтобы множе-
ство
2
S
i
=1
eig
(Φ
i
−
1
)
состояло из корней характеристического полинома
det (
λ
I
4
−
A + BK)
, например,
Φ = Φ
0
=
s
1
0
0
s
2
,
Φ
1
=
s
3
0
0
s
4
.
(19)
Тогда требуемая матрица коэффициентов в законе управления, соглас-
но (12), определится выражением
K = Φ
0
B
+
0
+ K
1
B
⊥
0
−
B
+
0
+ K
1
B
⊥
0
A
0
,
(20)
где
K
1
= Φ
1
B
+
1
−
B
+
1
A
1
,
(21)
B
+
0
,
B
+
1
— соответствующие псевдообратные матрицы Мура – Пенроуза
[4–7].
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2016. № 2 7