3 / 15
связи вида
u =
−
Kx
,
(3)
где
K
— искомая матрица коэффициентов (матрица регулятора).
Задача полного размещения полюсов.
Как уже отмечалось [3],
задача размещения полюсов или задача назначения собственных зна-
чений (eigenvalue assignment) в линейных динамических системах в
той или иной постановке рассматривалась в многочисленных работах.
В общем случае вместо системы (1) рассмотрим линейную многомер-
ную динамическую систему с многими входами и многими выходами
(MIMO — Multi Inputs Multi Outputs):
D
x(
t
) = Ax(
t
) + Bu(
t
)
,
(4)
где
x
∈
R
n
— вектор состояния, а
u
∈
R
r
— вектор управляю-
щих воздействий;
D
— оператор дифференцирования по времени:
D
x(
t
) = ˙x(
t
)
, либо оператор сдвига во времени:
D
x(
t
) = x(
t
+ 1)
.
Аналогично (3) считаем, что для MIMO-системы (4) рассматрива-
ется управление с обратной связью
u(
t
) =
−
Kx(
t
)
,
(5)
где
K
∈
R
r
×
n
— постоянная матрица регулятора. Кроме того, предпо-
лагается, что матрица
B
∈
R
n
×
r
в (4) имеет полный ранг по столбцам,
а матрица
A
∈
R
n
×
n
имеет множество собственных значений (спектр),
определенное следующим образом:
eig (A) =
{
λ
i
∈
C
: det (
λ
i
I
n
−
A) = 0
, i
= 1
, . . . , n
}
.
Здесь
I
n
— единичная матрица размера
n
×
n
;
C
— множество ком-
плексных чисел;
C
stab
в зависимости от типа
D
x(
t
)
обозначает левую
полуплоскость
C
−
плоскости
C
, т.е.
C
stab
.
=
C
−
, либо область внутри
круга единичного радиуса с центром в нуле, т.е.
C
stab
.
=
C
|
λ
|
<
1
. Здесь
|
λ
|
— модуль собственного значения
λ
.
Управление системой (4) с помощью закона (5) является классиче-
ской задачей, когда необходимо найти матрицу
K
, обеспечивающую
некоторые заданные требования к процессу управления. Эти требова-
ния условно можно разделить на три группы [3]: 1) требования на раз-
мещение полюсов замкнутой системы (собственных значений матриц
A
−
BK
) в заданных точках
C
stab
или в заданной области
C
stab
(за-
данной областью, например, может быть вся левая полуплоскость
C
);
2) требования на размещение полюсов и нулей (тех или иных нулей пе-
редаточной матрицы MIMO-системы замкнутой системы в заданных
точках
C
stab
или заданных областях
C
stab
; 3) требования к переход-
ным процессам в замкнутой системе в смысле минимума заданного
функционала.
В [3, 4] предложен эффективный метод решения задачи полно-
го размещения полюсов MIMO-системы (4). Метод не требует реше-
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2016. № 2 5