4 / 15
ния специальных матричных уравнений (типа уравнения Сильвестра),
имеет один и тот же вид для непрерывного и дискретного случаев
задания модели системы, не имеет ограничений по алгебраической и
геометрической кратностям задаваемых полюсов, легко реализуется в
среде MATLAB.
Пусть
B
⊥
T
=
null
B
T
— ортогональный делитель нуля, т.е. ма-
трица, удовлетворяющая следующим условиям [3]:
B
⊥
B = 0
(
n
−
r
)
×
r
;
(6)
B
⊥
B
⊥
T
= I
n
−
r
;
(7)
B
+
— псевдообратная матрица Мура – Пенроуза, т.е.
BB
+
B = B
,
B
+
BB
+
= B
+
,
B
+
B
T
= B
+
B
,
BB
+ T
= BB
+
.
Здесь null
(
∙
)
— оператор вычисления базиса нуль-пространства [3];
0
(
n
−
r
)
×
r
— нулевая матрица размера
(
n
−
r
)
×
r
.
Определим
L
=
floor
(
n/r
)
, где floor
(
∗
)
— операция округления чис-
ла * в сторону ближайшего большего целого, например, floor
(0
,
1) = 1
,
floor
(1
,
4) = 2
, floor
(2
,
99) = 3
и т.д. Введем в рассмотрение много-
уровневую декомпозицию MIMO-системы (4) аналогично тому, как
это сделано в [4]. Для представляемой парой матриц
(A
,
B)
MIMO-
системы имеем:
нулевой (исходный) уровень декомпозиции
A
0
= A
,
B
0
= B
0
,
(8)
первый уровень декомпозиции
A
1
= B
⊥
0
A
0
B
⊥
+
0
,
B
1
= B
⊥
0
A
0
B
0
,
(9)
k-й (промежуточный) уровень декомпозиции
A
k
= B
⊥
k
−
1
A
k
−
1
B
⊥
+
k
−
1
,
B
k
= B
⊥
k
−
1
A
k
−
1
B
k
−
1
,
(10)
L-й (конечный) уровень декомпозиции
A
L
= B
⊥
L
−
1
A
L
−
1
B
⊥
+
L
−
1
,
B
L
= B
⊥
L
−
1
A
L
−
1
B
L
−
1
.
(11)
Справедливы следующие теоремы.
Теорема 1.
Если MIMO-система
(4)
с парой матриц
(A
,
B)
пол-
ностью управляемая, то полностью управляемы все пары матриц
(A
i
,
B
i
) (8)
− −
(11)
,
где
i
∈ {
0
, . . . , L
}
[4, 5].
Без ограничения общности в дальнейшем будем считать, что все
матрицы
B
i
в (8)–(11) являются матрицами полного ранга по столбцам.
В противном случае можно воспользоваться подходом, изложенным в
работе [5]. Тогда справедливо утверждение.
Теорема 2.
Пусть MIMO-система
(4)
полностью управляемая и
матрица
K
∈
R
r
×
m
удовлетворяет формулам
[4, 5]
K = K
0
= B
−
0
A
−
Φ
0
B
−
0
,
B
−
0
= K
1
B
⊥
0
+ B
+
0
;
(12)
6 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2016. № 2