Отображение на фазовой плоскости медленных процессов в консервативных цепях с одной степенью свободы при нелинейном резонансе

9 / 18

Соответственно, корни (15) существуют только при ζ > ζгр = 1. Это
обстоятельство позволяет найти указанные корни аналитически.
При ζ > ζ гр = 1, p < 0 корни уравнения (15) находятся по форму-
лам [8]
y1,0 = 2r | p|
3
cos
α
3
, y2,0 = −2r |p |
3
cos
α
3
+
π
3
,
y3,0 = −2 r |p|
3
cos
α
3 −
π
3
,
(16)
где
−1 < cos α = −
q
2r−
p
3
3
= −ζ − 1
2 < 0. (17)
Из (17) следует, что π < α <
3 π
2
. Поэтому
π
3
<
α
3
<
π
2
и, как следует
из (16), y1,π > 0 . Кроме того,
2 π
3
<
α
3
+
π
3
<
5 π
6
и 0 <
α
3 −
π
3
<
π
6
, что
позволяет легко установить из (16): y2,π > 0 , y3,π < 0 . Отрицательная
амплитуда y3,π < 0 физически недопустима.
Итак, при допустимых значениях параметра ζ > 1 на фазовой
плоскости {y, z } всегда существуют только две стационарные точки
{y 1,π, π} , { y2,π , π }. Значения стационарных амплитуд y1,π, y 2,π следует
вычислять по (16).
Полученные расчетные формулы позволяют без труда выполнить
расчет (например, с использованием пакета MathCAD). Сведем в та-
блицу значения стационарных амплитуд для различных ζ (зависит от
расстройки) при q = 2.
Значения стационарных амплитуд
ζ 0,1 0,5 0,7 0,8 0,9 1 1,5 2 10 25 150 300
y1 ,0 1,621 1,859 1,924 1,952 1,977 2 2,095 2,126 2,685 3,07 4,054 4,53
y2 ,π 1 1,425 1,587 2,371 2,84 3,928 4,431
y1 ,π 1 0,67 0,581 0,314 0,229 0,126 0,1
При z = 0 с ростом модуля ζ значение резонансной амплитуды
y1,0 возрастает. При z = π с ростом ζ (при ζ > 1) возрастает стаци-
онарная амплитуда y 1,π и убывает стационарная амплитуда y 2,π. Не-
трудно убедиться в этих закономерностях и по графику рис. 1, если
учесть, что параметр ζ связан с параметром p следующим образом:
|p | = 3ζ
1
3
q
2
2
3 . Роль найденных корней (стационарных амплитуд ре-
зонансных колебаний) в динамике цепей различна: различен характер
48 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 2