12 / 18
Для этой стационарной точки, как было показано при обсуждении
(17), можно взять
π
3
<
α
3
<
π
2
или
2
π
3
<
α
3
+
π
3
<
5
π
6
. Следовательно,
cos
α
3
+
π
3
<
0
,
−
cos
α
3
+
π
3
−
1
2
>
0
,
cos
α
3
+
π
3
−
1
2
<
0
. Таким
образом, из условия
π
3
<
α
3
<
π
2
существования стационарной точки
{
y
2
,π
, π
}
следует в силу (21), (23), что
Δ =
−
λ
2
2
,π
=
−
q
4
y
2
2
,π
2
y
3
2
,π
−
q <
0
,
(24)
т.е. эта точка — седло.
Отметим важную особенность исследования устойчивости стаци-
онарных режимов в случае резонанса для нелинейных консерватив-
ных цепей с одной степенью свободы: какой бы ни была нелиней-
ность реактивного элемента характер устойчивости определяется зна-
ком
y
2
dZ
0
(
y
)
dy
±
Z
1
при стационарном значении амплитуды
y
. В част-
ности, если нелинейность кубическая, для исследования устойчивости
следует оценить только знак величины
2
y
3
±
q
(при стационарном зна-
чении амплитуды). Фактически ранее это и было проделано.
Фазовый портрет цепи на плоскости
{
y, z
}
.
Фазовый портрет
рассматриваемых цепей на плоскости
{
y, z
}
можно в общих чертах
описать, исходя из общих соображений [9]. Пусть параметры цепи
|
p
|
>
|
p
гр
|
= 3
q
2
2
3
таковы, что на плоскости
{
y, z
}
, могут суще-
ствовать три стационарные точки. Если начальные значения амплиту-
ды и фазы колебаний цепи совпадают с координатами стационарных
точек, то эти амплитуды и фазы могли бы оставаться такими же и
при
t
→ ∞
. Реально “точные” начальные условия не существуют, не-
избежны хотя бы незначительные отклонения. В результате фазовая
траектория покинет сколь угодно малую окрестность неустойчивой
стационарной точки, однако останется в окрестности устойчивых ста-
ционарных точек. Из общей теории следует, что любые начальные
условия, отличные от координат устойчивой стационарной точки типа
центр, вызовут периодические изменения как амплитуды, так и фа-
зы стационарных колебаний в цепи. Изменения такого типа следует
рассматривать как незатухающий (в цепи нет резисторов) переходный
процесс. Через неустойчивую особую точку типа седла
{
y
2
,π
, π
}
про-
ходят только две замкнутые фазовые траектории, сепаратрисы. Они
не реализуемы, так как период движения по ним фазовой точки бес-
конечен. Однако две замкнутые сепаратрисы играют важную роль как
границы двух областей притяжения в окрестности двух устойчивых
стационарных точек. Любую область притяжения фазовая траектория
не может покинуть при
t
→ ∞
. Области притяжения каждого из цен-
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 2 51