8 / 18
Пусть
ζ >
1
. Рассмотрим угол
α
в качестве более удобного пара-
метра:
cos
α
=
q
2
r
−
p
3
3
=
ζ
−
1
2
<
1
.
(13)
Тогда уравнение (11) имеет три вещественных корня [8]:
y
1
,
0
= 2
r
|
p
|
3
cos
α
3
, y
2
,
0
=
−
2
r
|
p
|
3
cos
α
3
+
π
3
,
y
3
,
0
=
−
2
r
|
p
|
3
cos
α
3
−
π
3
.
(14)
Проанализируем эти корни, используя (14). Из (13) следует, что
0
< α <
π
2
и поэтому
0
<
α
3
<
π
6
, т.е.
y
1
,
0
>
0
. С другой сторо-
ны,
π
3
<
α
3
+
π
3
<
π
2
и поэтому
y
2
,
0
<
0
,
−
π
3
<
α
3
−
π
3
<
−
π
6
и
поэтому
y
3
,
0
<
0
. Таким образом, только один корень
y
1
,
0
>
0
, два
других отрицательны и физически недопустимы.
Итак, при всех значениях параметра
0
< ζ <
∞
на фазовой плос-
кости
{
y, z
}
существует единственная (физически допустимая) ста-
ционарная точка
{
y
1
,
0
,
0
}
, но значения стационарной амплитуды
y
1
,
0
в зависимости от значения
ζ
следует вычислять либо по (12), либо
по (14).
Представим (9) в виде неполного кубического уравнения,
y
3
+
py
+
q
= 0
,
(15)
корни которого также определяются аналитически. Их вид зависит
от величины
ζ
(при
p <
0
). Как следует из графика (см. рис. 1),
вещественные корни (15) могут существовать только при достаточ-
но больших по модулю расстройках
|
p
| ≡ |
η
|
. Найдем граничный
параметр
ζ
гр
, соответствующий граничному значению расстройки.
По (10)
dp
π
dy
(
y
) = 2
y
−
q
y
2
и равна нулю при
y
гр
=
q
2
1
3
. Тогда
p
π
(
y
гр
) =
−
y
2
гр
−
q
y
гр
=
−
3
q
2
2
3
. Корни (15) могут существовать
только при
|
p
|
>
|
p
π
(
y
гр
)
|
. Параметр
ζ
гр
, который соответствует точке
на графике [
y
гр
, p
π
(
y
гр
)
], находится по формуле
ζ
гр
=
|
p
π
(
y
гр
)
|
3
3
q
2
2
= 1
.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 2 47