5 / 18
J
(
t
) =
C
du
C
dt
+
i
(
ψ
)
,
dψ
dt
=
u
C
, где
J
(
t
)
— ЭДС источника. Эти
уравнения эквивалентны другому уравнению второго порядка:
d
2
ψ
dt
2
=
−
C
−
1
L
−
1
0
ψ
3
+
αψ
+
C
−
1
J
(
t
)
.
Оба уравнения второго порядка идентичны типовому уравнению
вида
d
2
x
dt
2
+
ω
2
1
x
=
μf
(
x, ωt
)
.
(1)
К выражению (1) приводятся уравнения и всех других консерватив-
ных слабо нелинейных цепей с гармоническим воздействием. Назовем
поэтому (1) уравнением цепи.
Укороченные уравнения.
Специфика уравнения (1) в том, что
μ
— малый параметр, а нелинейная зависимость от
х
и зависимость
от времени (внешнее воздействие) разделяются на
f
(
x, ωt
) =
k
(
x
) +
+
H
cos
ωt
. Порождающее уравнение (при
μ
= 0
) имеет собственную
частоту
ω
1
и описывает автономную цепь без потерь. Рассмотрим глав-
ный резонанс, когда
ω
1
ω
= (1 +
μη
)
1
2
. Немалая величина
η
называется
относительной расстройкой. Главный резонанс изучался многими ав-
торами и описан во многих публикациях (например [6] и др.). Известно
следующее: ни при какой расстройке
η
амплитуда вынужденных коле-
баний не стремится к бесконечности, что объясняется анизохронизмом
этих колебаний; вынужденные колебания ангармоничны; в диапазоне
расстроек
η
гр
≤
η
≤ ∞
возможен бистабильный режим вынужденных
колебаний, т.е. существуют два типа устойчивых колебаний, а возмож-
ное колебание третьего типа неустойчиво. Далее вернемся к этому во-
просу, изменив известный подход и получив тем самым возможность
продвинуться в изучении главного резонанса.
Перейдем к безразмерному времени
ϕ
=
ω
1
t
и параметру
ν
=
= (1 +
μη
)
−
1
2
в исходном уравнении (1). Тогда
d
2
x
dϕ
2
+
x
=
μω
−
2
1
f
(
x, νϕ
)
.
(2)
Поскольку автономная цепь (с одной степенью свободы) находит-
ся под гармоническим воздействием, результирующая цепь имеет 3/2
степени свободы и должна рассматриваться в трехмерном фазовом
пространстве. На фазовой плоскости можно изучать только медленно
меняющиеся переменные (амплитуду и фазу), уравнения для которых
могут быть получены методом усреднения [4].
Представим решение уравнения (2) в виде
x
=
y
cos (
z
+
ϕ
)
, где
амплитуда
y
(
t
)
и фаза
z
(
t
)
есть функции времени со скоростями из-
менения порядка
μ
. Из (2) известным образом [4] получим систе-
му уравнений первого порядка (стандартного типа, по терминологии
44 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 2