4 / 18
Явления, возникающие в нелинейных электрических цепях при
гармоническом воздействии, имеют большое прикладное и теоретиче-
ское значение. Поэтому им уделялось пристальное внимание [1, 2].
В таких цепях не всегда возникает резонанс, но если он есть, то
его свойства отличаются от свойств резонанса в линейной цепи. При
нелинейном резонансе колебания на всех частотах внутри резонанс-
ной области имеют конечные амплитуды. Нелинейный резонанс мо-
жет возникать и в тех случаях, когда частота внешнего воздействия
близка к кратному собственной частоты или ее дробной части. При
нелинейном резонансе всегда имеет место гистерезис как в зависи-
мости от расстройки, так и в зависимости от амплитуды воздействия.
Исследованию нелинейного резонанса способствует удачный выбор
применяемых для этого математических методов. Как правило, это
методы усреднения [3–5]. Применительно к теории нелинейного ре-
зонанса методом усреднения всегда рассматривается наиболее общий
случай нелинейной цепи с потерями. При такой общности постановки
задачи и сложности исследования особенности полного фазового пор-
трета цепи в условиях резонанса обычно не рассматриваются. Но если
ограничиться только консервативными цепями, то можно построить их
фазовый портрет на плоскости медленных параметров (амплитуды и
фазы). Фазовый портрет позволяет представить переходные процессы
для этих параметров при различных начальных условиях. В известных
нам публикациях переходные процессы исследовались исключительно
на аналоговых моделях или с использованием ЭВМ. Цель настоящей
работы — приближенное изучение переходных процессов на фазовой
плоскости аналитическими средствами.
Чтобы максимально упростить определение особых элементов фа-
зовой плоскости, предложен метод исследования укороченных урав-
нений, полученных после применения метода усреднения. Этот метод
основан исключительно на рассмотрении консервативных цепей и от-
личается простотой и эффективностью.
Цепи и их модельные уравнения.
Рассмотрим одноконтур-
ную цепь с гармоническим источником напряжения без резисторов.
По законам Кирхгофа получим два уравнения:
e
(
t
) =
dψ
dt
+
u
C
,
C
du
C
dt
=
i
(
ψ
)
, где
e
(
t
)
— ЭДС источника;
ψ
— потокосцепление ка-
тушки;
u
C
— напряжение на конденсаторе;
i
(
ψ
) =
L
−
1
0
(
ψ
+
αψ
3
)
—
вебер-амперная характеристика катушки. Эти уравнения эквивалент-
ны одному уравнению второго порядка:
d
2
ψ
dt
2
=
−
C
−
1
L
−
1
0
ψ
+
αψ
3
+
ωE
0
cos
ωt.
Рассмотрим двухузловую цепь без резисторов с гармоническим
источником тока. По законам Кирхгофа получим два уравнения
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 2 43