7 / 18
плоскости
(
y, z
)
. Предлагаемый далее метод исследования, пригодный
только в случае консервативных цепей, отличается от общего традици-
онного подхода (используемого во всех известных нам литературных
источниках и изложенного, например, в [6, 7]). В указанном случае
предлагаемый метод достаточно эффективен.
Заметим, что правая часть первого уравнения системы (7) обра-
щается в нуль при
z
= 0
, π
. Тогда второе уравнение этой системы
обращается в нуль при значениях
y
таких, что
p
+
y
2
−
q
y
= 0
, z
= 0
,
(8)
p
+
y
2
+
q
y
= 0
, z
=
π.
(9)
Изобразим графически (рис. 1) зависимости
p
(
y
)
, которые следуют
из (8), (9):
p
0
(
y
) =
−
y
2
+
q
y
, p
π
(
y
) =
−
y
2
−
q
y
.
(10)
В совокупности зависимости (8), (9) неявно определяют амплитуд-
но-частотную характеристику (АЧХ) цепи. Из приведенного графика
следует, что при одних значениях расстройки существует только один
корень (по
y
) системы (8), (9), а при других — три корня. Други-
ми словами, в зависимости от значения частотной расстройки могут
существовать одно или три стационарных колебания. Покажем анали-
тически, что (9) может иметь два или ни одного корня, а уравнение
(8) всегда имеет один корень.
Представим (8) в виде неполного кубического уравнения
y
3
+
py
−
q
= 0
,
(11)
корни которого определяются аналитически [8]. Их вид зависит от
ζ
=
|
p
|
3
3
q
2
2
=
2
2
3
3
|
η
|
3
3
4
|
γ
|
H
ω
2
1
2
>
0
.
Пусть
0
< ζ <
1
. Рассмотрим
√
Q
=
−
q
2
√
1
−
ζ <
0
. Тогда уравне-
ние (11) имеет только один положительный корень [8]:
y
1
,
0
=
q
2
+
p
Q
1
3
+
q
2
−
p
Q
1
3
=
=
q
2
"
1
−
p
1
−
ζ <
0
1
3
+ 1 +
p
1
−
ζ <
0
1
3
#
.
(12)
46 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 2