Отображение на фазовой плоскости медленных процессов в консервативных цепях с одной степенью свободы при нелинейном резонансе

11 / 18

Ранее было получено, что −p = y2
1,0 +
q
y1,0
> 0 . Следовательно,
Δ = Ω2
1,0 = −p
q
4y 2
1,0
> 0 , т.е. точка {y 1,0, 0} во всем диапазоне рас-
строек |η | ≡ ζ — это центр.
Рассмотрим стационарную точку { y1,π, π} при ζ > ζгр = 1 .
Тогда
Δ = −
q
4y2
2 y3 − q . (20)
Найдем 2 y 3
1,π − q для y1,π = 2r−
p
3
cos
α
3
. Поскольку в силу (17) имеем
−q = 2 s |p|
3
3
cos α, то
2y 3
1,π − q = 2 2r−
p
3
cos
α
3
3
+ 2s |p|
3
3
cos α.
После некоторых преобразований получим
2y 3
1,π − q = 2s |p|
3
3
12 cos
α
3
cos
α
3
+
1
2
cos
α
3 −
1
2
. (21)
Для этой стационарной точки, как было показано при обсуждении
(17),
π
3
<
α
3
<
π
2
. Отсюда cos
α
3
> 0 , cos
α
3
+
1
2
> 0, cos
α
3 −
1
2
< 0 .
Таким образом, из условия π
3
<
α
3
<
π
2
существования стационарной
точки {y1,π, π } следует, что в силу (20), (21)
Δ = Ω2
1,π = −
q
4 y2
1,π
2y 3
1,π − q > 0, (22)
т.е. эта точка есть центр.
Рассмотрим стационарную точку {y 2,π, π} при ζ > ζгр = 1.
Здесь y2,π = −2r −
p
3
cos
α
3
+
π
3
. Поскольку в силу (17) имеем
−q = 2 s |p|
3
3
cos α, то
2y 3
2,π − q = 2 −2r−
p
3
cos
α
3
+
π
3
3
+ 2s |p |
3
3
cos α.
Отсюда после некоторых преобразований получим
2y 3
2,π − q = 2s |p |
3
3
3 ∙ 4 cos
α
3
+
π
3 ×
× cos
α
3
+
π
3 −
1
2 − cos
α
3
+
π
3 −
1
2
. (23)
50 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 2