16 / 18
особенности фазовой плоскости отражены в фазовом портрете, в част-
ности, в изображении замкнутых траекторий: они показаны разомкну-
тыми с краями на разрезе фазового цилиндра.
В малых окрестностях точек типа центр амплитуда и фаза соверша-
ют гармонические колебания с частотами, зависящими от положения
центра и независящими от начальных условий. С удалением началь-
ных значений от центров колебания остаются периодическими (фазо-
вые траектории замкнуты), но их частоты уменьшаются с увеличением
площади, ограниченной замкнутыми траекториями. Форма замкнутых
траекторий с удалением начальных значений от центров все сильнее
отличается от эллипсовидной, что говорит об ангармоничности коле-
баний. Из седловой точки выходят две фазовые траектории (устой-
чивая и неустойчивая ветви замкнутой сепаратрисы
1
), разделяющие
фазовую плоскость на две области притяжения. Траектории, начина-
ющиеся во внутренней области, будут всегда в ней оставаться. То же
относится и к внешней области, в которой все траектории колеблются
вокруг центра
{
y
1
,π
, π
}
. Только изменением начальных условий мож-
но объяснить переход из области притяжения одного центра в область
притяжения другого.
Заключение.
Показано, что динамические уравнения для двух ви-
дов (а также других этого типа) консервативных цепей при одинаковом
виде нелинейности идентичны, что позволило изучать одно нелиней-
ное дифференциальное уравнение общего вида.
Применение предложенного метода исследования укороченных
уравнений для амплитуды и фазы позволило на фазовой плоскости
этих параметров указать координаты особых точек. Установлено, что
приведенный параметр
ζ
цепи имеет бифуркационное значение: когда
параметры цепи таковы, что
ζ <
1
, на фазовой плоскости только одно
устойчивое состояние — центр; если же
ζ >
1
(за счет увеличения
частотной расстройки или/и амплитуды внешнего воздействия), то на
фазовой плоскости три особых состояния (два центра и седло). В по-
следнем случае амплитудные координаты особых точек чередуются:
между двумя центрами находится седло. Такое расположение особых
точек равносильно появлению гистерезиса.
Фазовая плоскость эквивалентна полосе
−
π < z < π
на цилин-
дрической поверхности. В указанной полосе качественно построен
фазовый портрет для наиболее интересного случая
ζ >
1
, когда име-
ются три особых точки. Сепаратрисы седла отделяют области притя-
жения каждого из центров: переходные процессы, начавшиеся в одной
из них, останутся в ней навсегда. Найдены формы фазовых траекто-
рий (полуоси эллипсов) в окрестности центров и угловые скорости
(частоты) на них; определены угловые коэффициенты сепаратрис в
1
Сепаратрисы показаны жирными линиями.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 2 55