10 / 18
Рис. 1. Зависимость частотной
расстройки от амплитуды ко-
лебаний в форме
p
(
y
)
по фор-
мулам (10)
устойчивости соответствующих особых
точек на фазовой плоскости
{
y, z
}
.
Тип устойчивости стационарных
колебаний на фазовой плоскости
{
y, z
}
.
Обратимся к уравнениям фазо-
вых траекторий (4). Какова бы ни была
нелинейность реактивного элемента кон-
сервативной цепи (не только кубической,
как в рассматриваемой задаче), уравне-
ния (4) имеют специфическую зависи-
мость правых частей от
y, z
(
Y
0
, Z
1
— по-
стоянные):
Y
(
y, z
) =
Y
0
sin
z, Z
(
y, z
) =
=
η
2
+
Z
0
(
y
) +
Z
1
y
cos
z.
Отсюда следует, что
∂Y
∂y
= 0
,
∂Z
∂y
=
1
2
2
y
+
q
y
2
cos
z ,
∂Y
∂z
=
−
1
2
q
cos
z,
∂Z
∂z
=
1
2
q
y
sin
z.
Стационарным точкам соответствует
sin
z
= 0
(
z
= 0
, π
) и, сле-
довательно,
∂Y
∂y
= 0
,
∂Z
∂z
= 0
,
∂Z
∂y
=
1
2
2
y
±
q
y
2
,
∂Y
∂z
=
∓
1
2
q
1
.
Характер устойчивости стационарных точек определяется коэффици-
ентами
σ
=
∂Y
∂y
+
∂Z
∂z
= 0
и
Δ =
−
∂Z
∂y
∂Y
∂z
характеристического
уравнения
λ
2
+
δλ
+ Δ = 0
. В случае кубической нелинейности, как
следует из (7),
Δ =
±
1
4
q
2
y
±
q
y
2
.
(18)
Корни зависят от знака
Δ
: при
Δ
<
0
корни вещественны, при
Δ
>
0
корни чисто мнимые. Следовательно, стационарная точка, для которой
Δ
<
0
, есть седло, а стационарная точка, для которой
Δ
>
0
, есть
центр. Исследуем стационарные точки
{
y
1
,
0
,
0
}
,
{
y
1
,π
, π
}
,
{
y
1
,π
, π
}
,
найденные ранее, на устойчивость, определив для них знак параме-
тра
Δ
.
Рассмотрим стационарную точку
{
y
1
,
0
,
0
}
,
0
< ζ <
∞
. Тогда
Δ = Ω
2
1
,
0
=
q
4
y
2
1
,
0
2
y
3
1
,
0
+
q .
(19)
1
Верхний знак соответствует
z
= 0
, нижний —
z
=
π
.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 2 49