6 / 18
Н.Н. Боголюбова):
dy
dϕ
=
μg
sin (
z
+
ϕ
)
,
dz
dϕ
=
μ
g
y
cos (
z
+
ϕ
)
,
(3)
где
g
(
y, z, ϕ
) =
ηy
cos (
z
+
ϕ
)
−
ω
−
2
1
f
(
y
cos (
z
+
ϕ
)
, ϕ
)
.
После усреднения по
ϕ
на интервале
[0
,
2
π
]
система (3) переходит
в укороченную автономную систему вида
dy
dϕ
=
μY
(
y, z
)
,
dz
dϕ
=
μZ
(
y, z
) =
μ
η
2
+
˜
Z
y
!
,
(4)
где
Y
(
y, z
) =
1
2
π
2
π
Z
0
g
(
y, z, ϕ
) sin (
z
+
ϕ
)
dϕ
=
=
−
1
2
πω
2
1
2
π
Z
0
f
(
y
cos (
z
+
ϕ
)
, ϕ
) sin (
z
+
ϕ
)
dϕ,
˜
Z
(
y, z
) =
−
1
2
π
ω
−
2
1
2
π
Z
0
[
k
(
y
cos (
z
+
ϕ
)) +
H
cos
ϕ
] cos (
z
+
ϕ
)
dϕ.
Учтем, что
k
(
x
) =
γω
2
1
x
3
, где
γ <
0
. Интегралы
Y
(
y, z
)
и
˜
Z
(
y, z
)
могут быть вычислены явно, в результате чего получим
dy
dϕ
=
−
μ
H
2
ω
2
1
sin
z,
dz
dϕ
=
μ
η
2
+
3
8
γy
2
−
H
2
ω
2
1
y
cos
z .
(5)
Эти уравнения известны. Они позволяют найти как свойства ста-
ционарных колебаний при резонансе (особые точки системы (5)), так и
переходные процессы при различных начальных условиях на фазовой
плоскости
(
y, z
)
.
Вместо параметров
H, ω
1
, γ, η
удобнее использовать два обобщен-
ных параметра
p
=
−
3
4
γ
−
1
η <
0
при
η <
0
, q
=
−
3
4
γ
−
1
H
ω
2
1
>
0
(6)
и приведенную “быструю” фазу
s
=
−
3
4
γ ϕ
.
С учетом этих обозначений укороченные уравнения (5) записыва-
ются следующим образом:
dy
ds
=
−
μ
q
2
sin
z,
dz
ds
=
1
2
μ p
+
y
2
−
q
y
cos
z .
(7)
Параметры стационарных колебаний на фазовой плоскости
{
y, z
}
.
Они определяются как координаты особых точек на фазовой
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 2 45