{
f
1
, . . . ,
f
r
}
,
что
P
=
α
∙
sign (
x
k
)
m
X
j
=1
x
j
E
j
≥
0
,
A
T
P
+ PA
≤
0
.
(24)
Сделаем следующие замечания:
— решение
P
≥
0
неравенства Ляпунова
A
T
P
+ PA
≤
0
существует,
если ранг матрицы
Φ
равен
m
−
1
;
— подходящий выбор базиса Крылова
{
f
1
, . . . ,
f
r
}
обеспечивает получе-
ние решения
P
>
0
(например,
{
f
1
, . . . ,
f
r
}
=
randomize
(
m, r
)
);
— решение
P
≥
0
(
P
>
0
) неравенства Ляпунова
A
T
P
+PA
≤
0
соответ-
ствует:
правому делителю нуля матрицы
Φ
;
правому собственному вектору
матрицы
Φ
, отвечающему нулевому собственному значению;
правому син-
гулярному вектору матрицы
Φ
, отвечающему нулевому сингулярному числу
и т.д.
Условно процесс формирования решения неравенства Ляпунова с помо-
щью метода Крылова приведен на рис. 2.
3. Неравенство L¨owner – Heinz и поток Ляпунова – Крылова.
Известно
неравенство L¨owner–Heinz [5].
Если для заданных матриц
A
,
B
и числа
σ
выполняются неравенства
A
≥
B
≥
0
,
0
≤
σ
≤
1
,
тогда выполняется неравенство
A
σ
≥
B
σ
≥
0
.
Число
σ
называется показателем L¨owner – Heinz.
На основе справедливости неравенства L¨owner – Heinz оказывается спра-
ведливым следующее утверждение.
Пусть матрица
A
такова, что
eig(
A
)
C
−
, и пусть задана матрица
P
>
0
, удовлетворяющая неравенству Ляпунова
A
T
P
+ PA
≤
0
,
(25)
тогда существует число
σ
min
≥
0
, что
A
T
P
σ
+
P
σ
A
≤
0
,
(26)
σ
min
≤
σ
≤
1
.
(27)
Более того, если
A
T
+
A
<
0
, тогда
σ
min
= 0
. Здесь
P
σ
min
, σ
min
>
0
—
“граничные снизу” решения линейного матричного неравенства Ляпунова.
Схема (рис. 2) и приведенное утверждение позволяют сформировать
по-
ток Ляпунова – Крылова
, рассматривая его как процесс формирования реше-
ния неравенства Ляпунова (рис. 3).
Сделаем ряд замечаний.
1. Для сформированного потока Ляпунова – Крылова существует дуаль-
ный поток, порождаемый решениями неравенства
AP
+
PA
T
≤
0
(“гранич-
ные сверху” решения
P
−
1
).
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 2 109
