При этом решение
P
=
P
T
>
0
матричного уравнения Ляпунова (7)
формируется по формуле
P
=
m
X
j
=1
x
j
E
j
.
(20)
С
алгебраической
точки зрения решение (20) не зависит от выбора базиса
Крылова (12). С
вычислительной
точки зрения для каждой пары
(
A
,
Q
)
существует множество “оптимальных” базисов, минимизирующих ошибки
вычисления.
2. Решение матричного неравенства Ляпунова методом Крылова.
Пусть далее у матрицы
A
2
R
n
×
n
n
— нечетное число, т.е.
(
n
/ 2)
/
2
N
.
Рассмотрим запись линейного матричного
неравенства
Ляпунова (8) в виде
x
1
A
T
E
1
+
E
1
A
+
∙ ∙ ∙
+
x
m
A
T
E
m
+
E
m
A
≤
0
.
Снова зададим базис Крылова
{
f
1
, . . . ,
f
r
}
, где
r
=
n
+ 1
2
, и сформируем
систему
уравнений
следующего вида:
x
1
A
T
E
1
+
E
1
A f
1
+
∙ ∙ ∙
+
x
m
A
T
E
m
+
E
m
A f
1
= 0
,
x
1
A
T
E
1
+
E
1
A f
2
+
∙ ∙ ∙
+
x
m
A
T
E
m
+
E
m
A f
2
= 0
,
...
x
1
A
T
E
1
+
E
1
A f
r
+
∙ ∙ ∙
+
x
m
A
T
E
m
+
E
m
A f
r
= 0
.
(21)
В результате преобразований (21) получаем матричное уравнение
Φ
x
1
...
x
m
= 0
,
Φ
Δ
=
A
T
E
1
+
E
1
A f
1
∙ ∙ ∙
A
T
E
m
+
E
m
A f
1
...
. . .
...
A
T
E
1
+
E
1
A f
r
∙ ∙ ∙
A
T
E
m
+
E
m
A f
r
2
2
R
m
×
m
.
(22)
На основе решения уравнения (22) сформируем множество матриц
P
= sign (
x
k
)
m
X
j
=1
x
j
E
j
.
(23)
Здесь
α
2
R
>
0
. Знаковая функция
sign (
x
k
)
в (23) применена для вы-
полнения условия положительной определенности диагональных элементов
квадратичной формы (
x
k
— элемент, соответствующий диагональному эле-
менту
P
jj
, например,
x
1
→
P
11
).
Справедливо утверждение.
Для любой асимптотически устойчивой ма-
трицы
A
2
R
n
×
n
существует непустое множество базисов Крылова
108 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 2
