Пусть
a
0
<
0
, тогда
ˆ
P
=
a
2
1
−
a
0
−
a
1
−
a
1
1
>
0
.
(36)
Вычислим производную функции Ляпунова (36) в силу системы, где ма-
трица
A
равна (28), получим
A
T
ˆ
P
+ ˆ
PA
=
−
2
a
0
a
1
0
0 0
.
Для того чтобы выполнялось условие
−
2
a
0
a
1
0
0 0
≤
0
(согласно критерию Сильвестра), необходимо и достаточно при
a
0
<
0
иметь
a
1
<
0
.
Таким образом, для асимптотической устойчивости матрицы (28) необ-
ходимо и достаточно выполнения неравенств
a
0
<
0
, a
1
<
0
,
но это есть необходимые и достаточные условия
критерия Гурвица
.
Если вычислить в явном виде собственные значения матрицы
ˆ
P
(36), то
они будут равны
λ
1
,
2
=
1
2
a
2
1
−
a
0
+ 1
±
q
a
4
1
−
2
a
0
a
2
1
+ 2
a
2
1
+
a
2
0
−
2
a
0
+ 1
.
(37)
Из (37) следует, что для положительной определенности матрицы
ˆ
P
(36)
необходимо и достаточно выполнения неравенства
a
0
<
0
.
Пример 2.
Решим неравенство Ляпунова для матрицы
A
2
R
2
×
2
, задан-
ной в вещественной форме Жордана:
A
=
δ β
−
β δ
, δ, β
2
R
.
(38)
Собственные значения матрицы (38) равны
δ
±
iβ
,
i
2
=
−
1
.
Выполним аналогичные предыдущим вычисления. В результате получим
матрицу
ˆ
P
=
2
δ
2
+
β
2
−
δβ
−
δβ β
2
.
(39)
Условия положительной определенности (39) в соответствии с
критерием
Сильвестра
имеют вид
(
2
δ
2
+
β
2
>
0
,
δ
2
β
2
+
β
4
>
0
.
(40)
Очевидно, что при любых (не одновременно нулевых)
δ, β
2
R
эти усло-
вия выполняются.
Собственные значения матрицы
ˆ
P
(39) равны
δ
2
+
β
2
±
p
δ
2
β
2
+
δ
4
.
(41)
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 2 113
