is used here for solving the Lyapunov matrix equations and inequalities. Correlation
between the method and the known L¨owner – Heinz inequality is established.
Effectiveness of the approach is demonstrated by the methodical examples.
Keywords
:
Lyapunov equations and inequalities, Krylov subspaces, zero divisors of a
matrix, L¨owner – Heinz inequality.
Постановка задачи.
Линейные матричные уравнения и неравенства Ля-
пунова — это ключевые соотношения в современной теории управления ди-
намическими системами. Большинство методов решения уравнений Ляпуно-
ва являются численными. Среди них наибольшую практическую значимость
имеют методы, основанные на ортогональных преобразованиях исходных
матриц. Это обусловлено их численной устойчивостью. В настоящее время
существуют два таких алгоритма решения матричных уравнений Сильвестра
и Ляпунова, основанных на приведении матриц к вещественной форме Шу-
ра или Хессенберга. Это алгоритмы Бартелса – Стьюарта (BS-алгоритм) [1] и
Голубa – Нэша – ван Лоуна (GNL-алгоритм) [2].
При решении линейных матричных неравенств Ляпунова главенствую-
щую роль занимают методы линейного программирования, из которых наи-
более часто используется метод внутренней точки, являющийся обобщением
прямых барьерно-проективных методов.
В настоящей работе представлен новый подход к решению линейных
матричных уравнений и неравенств Ляпунова на основе метода А.Н. Крыло-
ва. Приведенный метод используется для решения задач анализа и синтеза
систем с многими входами и выходами, так называемых линейных
Multi
Input Multi Output System
(MIMO) систем.
К таким задачам относится
вычисление сбалансированной реализации передаточной матрицы линейной
MIMO-системы в пространстве состояний, редукция и декомпозиция моде-
ли этой системы в пространстве состояний, определение управляемых и
наблюдаемых подпространств, стабилизация с помощью обратной связи по
элементам состояния
и т.д. В основе метода Крылова лежит
тождество
Гамильтона – Кэли
A
n
+
a
n
−
1
A
n
−
1
+
∙ ∙ ∙
+
a
1
A
+
a
0
I
n
= 0
,
(1)
где
A
2
R
n
×
n
— заданная числовая матрица,
a
i
, i
= 1
, n
— коэффициенты
характеристического полинома (х.п.).
det (
λ
I
n
−
A
) =
λ
n
+
λ
n
−
1
∙ ∙ ∙
λ
1
X
(
a
)
,
X
(
a
) =
a
n
−
1
∙ ∙ ∙
a
1
a
0
T
.
(2)
Задача Крылова формулируется следующим образом [3]:
Найти преобразование, вкладывающее скалярное уравнение для х.п.
(2)
в
матричное уравнение относительно вектора коэффициентов х.п.
X
(
a
)
h
(
A
)
X
(
a
) =
g
(
A
)
,
(3)
чтобы для вектора
X
(
a
)
существовало решение в виде
X
(
a
) =
h
−
1
(
A
)
g
(
A
)
.
(4)
Здесь
h
(
A
)
,
g
(
A
)
— явные матричные функции элементов матрицы
A
.
104 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 2
