Отсюда следует предыдущий вывод.
Вычислим производную функции Ляпунова (39) в силу системы, где ма-
трица
A
равна (38). В результате получим
A
T
ˆ
P
+ ˆ
PA
=
4
δβ
2
+ 4
δ
3
0
0
0
.
(42)
Таким образом, для выполнения условия
4
δβ
2
+ 4
δ
3
0
0
0
=
4
δ β
2
+
δ
2
0
0
0
≤
0
.
(43)
необходимо и достаточно
δ <
0
, т.е.
eig(
A
)
C
−
.
Пример 3.
Решим неравенство Ляпунова для матрицы
A
2
R
3
×
3
, задан-
ной в форме Фробениуса,
A
=
0 1 0
0 0 1
a
0
a
1
a
2
.
(44)
Используя базис Крылова
f
1
f
2
=
1 0
0 0
0 1
,
(45)
вычислим матрицу (31):
Φ =
A
T
E
1
+
E
1
A f
1
∙ ∙ ∙
A
T
E
6
+
E
6
A f
1
A
T
E
1
+
E
1
A f
2
∙ ∙ ∙
A
T
E
6
+
E
6
A f
2
2
R
6
×
6
.
Получим
Φ =
0 0 2
a
0
0 0 0
1 0
a
1
0
a
0
0
0 1
a
2
0 0
a
0
0 1
a
0 0
a
0
0 0 1 1
a
2
a
1
0 0 0 0 2 2
a
.
(46)
Для (46) вычислим
Φ
?
=
x
1
x
2
∙ ∙ ∙
x
6
T
=
=
a
0
a
2
−
a
0
0
a
2
2
−
a
1
−
a
2
1
T
.
(47)
На основе (47) составим матрицу
P
=
a
0
a
2
−
a
0
0
−
a
0
a
2
2
−
a
1
−
a
2
0
−
a
2
1
.
(48)
114 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 2
