Задача Крылова (3) имеет решение (4), где
h
(
A
) =
A
n
−
1
f
∙ ∙ ∙
Af f
, g
(
A
) =
−
A
n
f
,
(5)
если существует вектор
f
2
R
n
, при котором матричная функция
h
(
A
)
явля-
ется обратимой.
Пусть задана линейная MIMO-система
˙
x
(
t
) =
Ax
(
t
) +
Bu
(
t
)
,
(6)
где
x
(
t
)
2
R
n
— вектор состояния;
u
(
t
)
2
R
p
— векторный вход.
Известны условия асимптотической устойчивости MIMO-системы (6).
1)
8
λ
i
2
eig(
A
) : Re
λ
i
<
0
eig(
A
) =
λ
i
2
C
: det (
λ
i
I
n
−
A
) = 0
, i
= 1
, n
;
2) для заданной матрицы
qq
T
=
Q
≥
0
(
(
A
,
q
)
— управляемая пара)
существует единственное решение
P
>
0
линейного матричного уравнения
Ляпунова
A
T
P
+
PA
−
Q
= 0;
(7)
3) существует множество решений
P
>
0
линейного матричного нера-
венства Ляпунова
A
T
P
+
PA
≤
0;
(8)
4)
x
T
(
t
)
P x
(
t
)
— функция Ляпунова системы (6).
В дальнейшем будем предполагать, что (6) — асимптотически устойчивая
система и
(
A
,
q
)
— управляемая пара.
Требуется на основе метода Крылова определить формулы решения ли-
нейного матричного уравнения (7) и неравенства (8).
1. Решение матричного уравнения Ляпунова методом Крылова.
Вве-
дем в рассмотрение множество матриц
{
E
1
, . . . , E
m
}
, E
j
=
E
T
j
2
R
n
×
n
, m
=
n
(
n
+ 1)
2
,
где
E
j
=
e
j
e
T
j
и
e
T
j
= 0
∙ ∙ ∙
0 1 0
∙ ∙ ∙
0
–
j
-й орт. Нетрудно убедиться, что справедливы следующие матричные
разложения:
P
=
p
11
p
12
∙ ∙ ∙
p
1
n
p
21
p
22
∙ ∙ ∙
p
2
n
...
...
. . .
...
p
n
1
p
n
2
∙ ∙ ∙
p
nn
=
x
1
x
2
∙ ∙ ∙
x
n
x
2
x
n
+1
∙ ∙ ∙
x
2
n
−
1
...
...
. . .
...
x
n
x
2
n
−
1
∙ ∙ ∙
x
m
=
m
X
j
=1
x
j
E
j
,
(9)
A
T
P
+
PA
=
m
X
j
=1
x
j
A
T
E
j
+
E
j
A
=
=
x
1
A
T
E
1
+
E
1
A
+
∙ ∙ ∙
+
x
m
A
T
E
m
+
E
m
A
.
(10)
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 2 105
