СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 62.50
О РЕШЕНИИ ЛИНЕЙНЫХ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ
И НЕРАВЕНСТВ ЛЯПУНОВА МЕТОДОМ ПОДПРОСТРАНСТВ
КРЫЛОВА
Н.Е. Зубов
1
,
2
,
Е.А. Микрин
1
,
2
,
М.Ш. Мисриханов
2
,
В.Н. Рябченко
1
,
2
1
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация
e-mail:
2
ОАО “РКК “Энергия” им. С.П. Королева”, г. Королев, Московская область,
Российская Федерация
Приведен новый подход к решению линейных матричных уравнений и нера-
венств Ляпунова на основе метода А.Н. Крылова, в основе которого лежит
тождество Гамильтона – Кэли. Этот метод используется для решения разно-
образных задач анализа и синтеза линейных MIMO-систем (Multi Input Multi
Output System), т.е. систем с многими входами и выходами. К таким задачам
относится вычисление сбалансированной реализации передаточной матрицы
линейной MIMO-системы в пространстве состояний, редукция и декомпозиция
модели этой системы в пространстве состояний, определение управляемых
и наблюдаемых подпространств, стабилизация с помощью обратной связи
по элементам состояния. Метод подпространств А.Н. Крылова в сочетании
с техникой вычисления матричных делителей нуля использован для решения
матричных уравнений и неравенств Ляпунова. Установлена связь метода с
известным неравенством L¨owner – Heinz. На методических примерах проде-
монстрирована эффективность подхода.
Ключевые слова
:
уравнения и неравенства Ляпунова, подпространства Крылова,
матричные делители нуля, неравенство L¨owner – Heinz.
ON SOLVING THE LYAPUNOV LINEAR MATRIX EQUATIONS
AND INEQUALITIES USING THE KRYLOV SUBSPACE METHOD
N.E. Zubov
1
,
2
,
E.A. Mikrin
1
,
2
,
M.Sh. Misrikhanov
2
,
V.N. Ryabchenko
1
,
2
1
Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation
e-mail:
2
OAO “Korolev Rocket and Space Corporation “Energiya”, Moscow region, Russian
Federation
A new approach to solving the Lyapunov linear matrix equations and inequalities
on the basis of a Krylov subspace method (based, in turn, on the Cayley–Hamilton
identity) is offered. This method is used for solving various problems of analysis
and synthesis of linear multi-input multi-output (MIMO) systems. These problems
include (i) calculation of a balanced realization of transfer matrix of the linear
MIMO system in the state space, (ii) reduction and decomposition of a model of
this system in the state space, (iii) definition of controlled and observed subspaces,
(iv) stabilization with the help of the state-elements feedback. The Krylov subspace
method in a combination with the technique of calculating zero divisors of a matrix
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 2 103
