С учетом (10) уравнение Ляпунова (7) имеет эквивалентный вид
x
1
A
T
E
1
+
E
1
A
+
∙ ∙ ∙
+
x
m
A
T
E
m
+
E
m
A
−
Q
= 0
.
(11)
Зададим
базис Крылова
в виде набора векторов
{
f
1
, . . . ,
f
r
}
,
(12)
где
r
=
n
+ 2
2
— если
(
n/
2
2
N
(т.е.
n
— четное число), и
r
=
n
+ 3
2
, если
(
n/
2)
/
2
N
(т.е.
n
— нечетное число).
С помощью базиса Крылова (12) сформируем систему уравнений следу-
ющего вида:
x
1
A
T
E
1
+
E
1
A f
1
+
∙ ∙ ∙
+
x
m
A
T
E
m
+
E
m
A f
1
−
Qf
1
= 0
,
x
1
A
T
E
1
+
E
1
A f
2
+
∙ ∙ ∙
+
x
m
A
T
E
m
+
E
m
A f
2
−
Qf
2
= 0
,
...
x
1
A
T
E
1
+
E
1
A f
r
+
∙ ∙ ∙
+
x
m
A
T
E
m
+
E
m
A f
r
−
Qf
r
= 0
,
(13)
или эквивалентно
Φ
Q
x
1
...
x
m
1
= 0
,
(14)
Φ
Q
Δ
=
A
T
E
1
+
E
1
A f
1
∙ ∙ ∙
A
T
E
m
+
E
m
A f
1
−
Qf
1
...
. . .
...
...
A
T
E
1
+
E
1
A f
r
∙ ∙ ∙
A
T
E
m
+
E
m
A f
r
−
Qf
r
2
2
R
(
r
∙
n
)
×
(
m
+1)
.
(15)
Векторы, образованные произведениями вида
A
T
E
i
+
E
i
A f
k
, i
= 1
, m, k
= 1
, r,
(16)
и упорядоченные так, как это сделано в (14), будем называть
подпростран-
ствами Крылова – Ляпунова
.
Отметим, что число столбцов
(
m
+ 1)
матрицы
Φ
Q
всегда не превышает
числа строк
(
r
∙
n
)
(рис. 1).
Если в базисе Крылова (12) все векторы линейно независимые, тогда
решение уравнения (14) имеет единственный вид
x
1
x
2
∙ ∙ ∙
x
m
1
T
2
R
m
+1
,
(17)
где
x
i
=
ˆ
x
i
γ
0
, i
= 1
, m,
(18)
106 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 2
