где
Φ
x
1
...
x
m
= 0
,
Φ
Δ
=
A
T
E
1
+
E
1
A f
1
∙ ∙ ∙
A
T
E
m
+
E
m
A f
1
...
. . .
...
A
T
E
1
+
E
1
A f
r
∙ ∙ ∙
A
T
E
m
+
E
m
A f
r
2
2
R
m
×
m
.
(54)
Пусть далее
eig (
A
) =
n
Λ
−
[
Λ
+
o
,
Λ
−
C
−
,
Λ
+
C
+
,
Λ
−
6
=
?
,
Λ
+
6
=
?
, т.е. значения матрицы
A
2
R
n
×
n
лежат как в правой
полуплоскости, так и в левой полуплоскости
C
. Тогда матрицы
P
=
α
∙
sign (
x
k
)
m
X
j
=1
x
j
E
j
,
A
T
P
+
PA
(55)
будут знаконеопределенными. При этом если существуют элементы
x
k
→
P
jj
и
x
l
→
P
ii
, что
sign (
x
k
)
6
= sign (
x
l
)
,
(56)
то это является
достаточным условием
неустойчивости матрицы
A
.
Общий вид алгоритма решения неравенства Ляпунова в неустойчивом
случае выглядит следующим образом.
Алгоритм решения неравенства Ляпунова для неустойчивой матри-
цы.
Задано
:
A
2
R
n
×
n
— неустойчивая матрица.
Требуется найти
: матрицу
X
=
X
T
>
0
, что
eig
A
−
μ
BB
T
X
−
1
C
−
.
Шаг 1.
Задать скаляр
ρ >
0
, что
eig (
A
+
ρ
I
n
)
C
+
.
Шаг 2.
Вычислить матрицу
X
=
X
T
>
0
, удовлетворяющую неравен-
ству Ляпунова
AX
+
XA
T
+ 2
ρ
X
≥
0
,
следующим образом:
A
E
1
+
E
T
1
A f
1
∙ ∙ ∙
A
E
m
+
E
m
A
T
f
1
...
. . .
...
A
E
1
+
E
1
A
T
f
r
∙ ∙ ∙
A
E
m
+
E
m
A
T
f
r
x
1
...
x
m
= 0
,
116 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 2
