X
= sign (
x
1
)
m
X
j
=1
x
j
E
j
>
0
.
(57)
Шаг 3.
Вычислить матрицу
Q
:
Q
=
AX
+
XA
T
.
Шаг 4.
Проверить выполнение неравенства [6]
S
Δ
=
B
?
L
QB
?
T
L
<
0
,
(58)
где
B
?
L
B
= 0
,
rank
B
?
L
=
n
−
p
.
Шаг 5.
Если неравенство (58) выполняется, вычислить скаляр
μ > μ
min
Δ
=
λ
max
2
eig
B
+
h
Q
−
QB
?
T
L
S
−
1
B
?
L
Q
i
B
+T
.
(59)
В противном случае — вернуться к шагу 2. Шаг 2 может быть повторен
несколько раз (со сменой базиса Крылова
{
f
1
, . . . ,
f
r
}
и задания скаляра
α >
0
) для формирования строгих неравенств
X
Σ
=
N
X
i
=1
α
i
X
i
>
0
,
AX
Σ
+
X
Σ
A
T
+ 2
ρ
X
Σ
>
0
.
(60)
Формулы (57)—(60) являются альтернативой указанным во введении
методам линейного программирования и, в частности, методу внутренней
точки.
Заключение.
В работе предложен новый подход к решению линей-
ных матричных уравнений и неравенств Ляпунова на основе метода под-
пространств А.Н. Крылова. Обычно в теории управления
метод подпро-
странств А.Н. Крылова используется для решения разнообразных задач для
MIMO-систем (вычисление сбалансированной реализации передаточной ма-
трицы, редукция и декомпозиция моделей, определение управляемых и на-
блюдаемых подпространств, стабилизация с помощью обратной связи по
элементам состояния
и др.) Здесь же метод подпространств А.Н. Крылова
в сочетании с техникой вычисления матричных делителей нуля использует-
ся для нахождения решений матричных уравнений и неравенств Ляпунова.
Установлена связь метода с известным неравенством L¨owner – Heinz. На ме-
тодических примерах продемонстрирована эффективность подхода.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образова-
ния и науки РФ. Задание № 2014/104.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Bartels R.H.
, Stewart G.W. Solution of the Matrix Equation
AX
+
XB
=
C
//
Commun. ACM. 1972. Vol. 15. No. 9.
2.
Golub G.H.
,
Nash S.
,
Van Loan C.
A Hessenberg–Schur method for the problem
AX
+
XB
=
C
// IEEE Trans. Automat. Contr. 1979. Vol. 24. No. 6.
3.
Мисриханов М.Ш.
,
Рябченко В.Н.
Ленточная формула решения задачи
А.Н. Крылова // Автоматика и Телемеханика. 2007. № 12. С. 53–69.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 2 117
