J
(
t
) =
a
1
(
t
) +
ε
1
(
t
);
a
1
(
t
) =
a
1
(
t
−
1) +
a
2
(
t
);
a
2
(
t
) =
a
2
(
t
−
1) +
ε
2
(
t
)
,
(4)
где
a
1
(
t
)
— значение уровня исследуемой последовательности
J
в мо-
мент
t
;
a
2
(
t
)
— прирост уровня от момента
t
−
1
к моменту
t
;
ε
1
(
t
)
,
ε
2
(
t
)
— случайные процессы с нулевым математическим ожиданием,
постоянными дисперсиями
σ
2
ξ
1
и
σ
2
ξ
2
.
Пусть в момент времени
t
необходимо сделать прогноз
J
τ
пр
(
t
)
ве-
личин
J
τ
пр
(
t
+
τ
пр
)
;
ˆ
a
1
(
t
)
;
ˆ
a
2
(
t
)
,
где
τ
пр
— интервал времени прогноза.
В момент времени
t
+
τ
пр
прогнозируемое значение запишем как
J
τ
пр
(
t
) = ˆ
a
1
(
t
) +
τ
пр
ˆ
a
2
(
t
)
,
где
ˆ
a
1
(
t
)
,
ˆ
a
2
(
t
)
— текущие оценки коэффициентов адаптивного поли-
нома первого порядка, которые определяются следующим образом:
ˆ
a
1
(
t
) =
α
1
J
(
t
) + (1
−
α
1
)(ˆ
a
1
(
t
−
1) + ˆ
a
2
(
t
−
1));
ˆ
a
2
(
t
) =
α
2
(ˆ
a
1
(
t
)
−
ˆ
a
1
(
t
−
1)) + (1
−
α
2
)ˆ
a
2
(
t
−
1);
0
< α
1
, α
2
<
1
.
Ошибка прогноза в момент
t
на одном шаге будет
е
1
=
J
(
t
+ 1)
−
ˆ
a
1
(
t
)
−
ˆ
a
2
(
t
) = (
a
1
(
t
) +
a
2
(
t
) +
ε
1
(
t
+ 1) +
ε
2
(
t
+ 1))
−
−
ˆ
a
1
(
t
)
−
ˆ
a
2
(
t
) = (
a
1
(
t
)
−
ˆ
a
1
(
t
))+(
a
2
(
t
)
−
ˆ
a
2
(
t
))+
ε
1
(
t
+1)+
ε
2
(
t
+1)
Следовательно, ошибка прогноза является суммой трехсоставля-
ющих: ошибки оценки уровня процесса в момент
t
, ошибки оценки
прироста уровня в момент
t
и комбинации случайныхсоставляющих
в момент
t
+ 1
.
В результате минимизации дисперсии прогноза Тейл и Вейдж по-
лучили следующие результаты:
α
1
=
2
d
1 +
d
;
α
2
=
d
;
d
=
−
1
8
χ
2
+
1
2
χ
1 +
1
16
χ
2
;
χ
2
=
σ
2
ε
2
/σ
2
ε
1
;
D
(1) =
1 +
d
1
−
d
σ
2
ε
1
.
Общие формулы прогнозирования значения
J
τ
пр
в интервале вре-
мени прогноза модели (4) будут иметь вид
ˆ
a
1
(
t
) = ˆ
a
1
(
t
−
1) + ˆ
a
2
(
t
−
1) +
α
1
е
1
(
t
−
1);
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2008. № 2 33
