6 / 14
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Приборостроение». 2016. № 3
93
лебаний функция
( )
u
может включаться
1
n
раз. Каждому возмож-
ному значению числа
n
однозначно соответствует определенная гео-
метрическая структура аттрактора, его индивидуальная форма траек-
тории
.
n
Из множества аттракторов два имеют простые формы:
одноимпульсный
*
1
;
двухимпульсный
2
.
Многоимпульсные аттракторы
n
представляют собой комбина-
цию из ряда двухимпульсных петель
2
и замыкающей их единствен-
ной одноимпульсной петли
1
.
Все аттракторы, кроме двухимпульс-
ного, имеют нечетное число импульсов за период:
1
2
1
,
r
n
i
i
2 1,
1, 2, 3, ... .
n r
r
Аттрактор
1
существует при относительно
больших возмущениях
g
и формируется траекториями, сопрягающи-
мися в точках переключения функции
( ) :
u
1
0
при
0
g
или
1
0
при
0.
g
Одна траектория
(или
) отображает
движение с включенным управлением
u a
(или
u a
) и проходит
за пределами области
,
другая
0
— с выключенным управлением
(
0)
u
внутри области
.
Аттрактор
2
существует при малых значениях возмущения
g
,
близких к нулю, и имеет структуру
2
0
0
.
Упорядоченность геометрических структур аттракторов
n
объяс-
няется ограниченностью размеров области допустимых состояний
.
При уменьшении значения возмущения
g
петля
0
увеличивается
в размерах, вытягивается и в критическом состоянии касается проти-
воположной границы. В этой критической ситуации наступает би-
фуркация перехода к более сложному аттрактору. Новый аттрактор
имеет на одну двухимпульсную петлю больше, чем предыдущий:
2
.
g
n
n
С уменьшением возмущения при достаточно высокой эффектив-
ности управления бифуркации усложнения аттрактора могут происхо-
дить неограниченное число раз. Требование достаточно высокой
эффективности управления отражено в условии 1. В общем случае зна-
чение определяется конкретными техническими задачами.
Каждая последующая бифуркация усложнения аттрактора уменьша-
ет в размерах область его существования. Образующийся каскад бифур-
каций приводит к точке сверхкритического состояния — к странному
аттрактору (детерминированному хаосу). Дальнейшее снижение возму-
щения порождает бифуркацию перехода к простому двухимпульсному
аттрактору.