8 / 18
Оценка качества решения
. Теорема 1
.
Обобщенный инверс-
ный интервальный метод находит решение задачи интервальной
ε
-минимизации.
J
Поскольку на шаге выбора (шаг 9) параллелотоп выбирается из
множества
P
ε
, его ширина никогда не превысит выбранного значения
ε
(вследствие способа построения множества
P
ε
). На каждом цикле ал-
горитм изначально с помощью инвертора вырабатывает множество па-
раллелотопов
P
, в котором для любого параллелотопа
[p]
∈
P
справед-
ливы соотношения
[p]
⊆
[s]
,
ω
([p])
≥
ε
и
[
f
] ([p])
⊆
[Υ
l
]
, или
[p]
⊆
[s]
,
ω
([p])
< ε
и
[
f
] ([p])
∩
[Υ
l
]
6
=
∅
. Поэтому переход к анализу
[Υ
u
]
сви-
детельствует о том, что множество
P
пусто, т.е.
∀
[x]
⊆
[s]
,
ω
([x])
< ε
выполнено
[
f
] ([p])
⊂
[Υ
u
]
. Таким образом, в ходе каждого цикла ал-
горитма однозначно определяется интервал
[
y
]
, такой, что
@
[x]
⊆
[s]
,
для которого выполнено условие
[
f
] ([x])
<
[
y
]
. Это исключает воз-
можность существования параллелотопа
[x]
⊆
[s]
,
ω
([x])
≥
ε
, для
которого
[
f
] ([x])
<
[
f
] ([p]
∗
)
, т.е. справедливо условие (1).
I
Теорема 2.
Пусть
x
∗
= Arg min
x
∈
[
s
]
f
(
x
)
, а
[p]
∗
— решение задачи
интервальной
ε
-минимизации обобщенным инверсным интервальным
методом, тогда
f
(
x
∗
)
∈
[
f
] ([p]
∗
)
.
J
Необходимо показать, что для параллелотопа
[p]
∗
одновремен-
но выполняются неравенства
f
(
x
∗
)
≥
[
f
] ([p]
∗
)
,
f
(
x
∗
)
≤
[
f
] ([p]
∗
)
.
Докажем выполнение первого неравенства. Пусть
f
(
x
∗
)
<
[
f
] ([p]
∗
)
,
тогда
∃
[˜p]
— это такое решение интервальной задачи интервальной
ε
-
минимизации, что
f
(
x
∗
)
∈
[
f
] ([˜p])
. Откуда следует
[
f
] ([˜p])
<
[
f
] ([p]
∗
)
,
что невозможно, так как
[p]
∗
является решением задачи интервальной
ε
-минимизации и при этом
[p]
∗
= Arg min
[
p
]
i
∈
P
ε
[
f
] ([p]
i
)
. Следовательно,
первое неравенство выполнено. Докажем выполнение второго нера-
венства. Пусть
f
(
x
∗
)
>
[
f
] ([p]
∗
)
, тогда
[
f
] ([p]
∗
) =
∅
, что невозможно,
поскольку
[p]
∗
6
=
∅
. Таким образом, второе неравенство выполнено.
Два неравенства выполнены, теорема 2 доказана.
I
Следствие теоремы 2.
В параллелотопе
[p]
∗
есть точка
˜
x,
такая
,
что
f
(˜
x
)
−
f
(
x
∗
)
≤
ω
([
f
] ([p]
∗
))
.
Оптимальное интервальное программное управление непрерыв-
ными системами.
Постановка задачи.
Поведение модели объекта
управления описывается дифференциальным уравнением
˙
x
(
t
) =
f
(
t, x
(
t
)
, u
(
t
))
,
(2)
где
t
— непрерывное время;
t
∈
T
= [
t
0
, t
1
]
— заданный промежу-
ток времени функционирования системы;
x
∈
R
n
— вектор состоя-
ния системы;
u
∈
[u]
⊂
R
q
— вектор управления;
[u]
— множество
допустимых значений управления, представляющее собой параллело-
40 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2016. № 1