3 / 18
точка ограниченного и непустого интервала
mid
([
x
]) =
[
x
] + [
x
]
2
.
Перечисленные параметры определены и для параллелотопов:
нижняя и верхняя границы, а также средняя точка становятся вектора-
ми, ширина рассчитывается как максимальное значение ширины всех
образующих параллелотоп компонентов.
Интервальной оболочкой множества
X
⊂
R
n
называется паралле-
лотоп с наименьшей шириной, который содержит множество
X
. Если
множество
X
берется в квадратные скобки, это означает, что рассма-
тривается интервальная оболочка
[X]
этого множества.
Пусть
◦
— некоторая бинарная операция, тогда
[
x
]
◦
[
y
] =
= [
{
ξ
1
◦
ξ
2
|
ξ
1
∈
[
x
]
, ξ
2
∈
[
y
]
}
]
. Обозначим через
f
некоторый унар-
ный оператор, тогда
f
([
x
]) = [
{
f
(
ξ
)
|
ξ
∈
[
x
]
}
]
. Описанная бинарная
операция позволяет определить арифметические операции над интер-
валами [4].
Множество интервалов обозначается как
I
R
, множество интерваль-
ных векторов –
I
R
n
. Пусть имеется некоторая функция
f
:
R
n
→
R
.
Функция
[
f
] (
∙
)
называется интервальной функцией включения для
f
: I
R
n
→
I
R
, если
f
([x]) =
{
f
(
ξ
)
|
ξ
∈
[x]
} ⊂
[
f
] ([x])
,
∀
[x]
∈
I
R
n
.
Функция включения позволяет получить априорную оценку множе-
ства значений функции, даже если оно не является выпуклым или
связным (если вместо переменных используются интервалы и соответ-
ствующие арифметические операции, то оценка называется оценкой
прямого образа функции).
Инвертор
INV
(
f,
[s]
,
[
l
]
, ε
)
— функция, которая по заданному
интервалу
[
l
]
, функции
f
и параметру точности
ε
находит в обла-
сти поиска
[s]
множество параллелотопов
P
, такое, что
∀
[x]
∈
P
справедливо выражение
[x]
⊆
[s]
, ω
([x])
≥
ε,
[
f
] ([x])
⊆
[
l
]
, или
[x]
⊆
[s]
, ω
([x])
< ε,
[
f
] ([x])
∩
[
l
]
6
=
∅
. Инвертор может быть реализо-
ван с помощью алгоритма SIVIA [4].
Алгоритм SIVIA.
Последовательность выполнения указанного ал-
горитма приведена ниже.
Шаг 1. Задать функцию
f
, область поиска
[s]
, интервал
[
l
]
и па-
раметр точности
ε
. Создать пустое множество параллелотопов
P
и
множество
X =
{
[s]
}
.
Шаг 2. Для каждого параллелотопа
[x]
∈
X
найти оценку прямого
образа
[
f
] ([x])
. Проверить выполнение следующих условий (паралле-
лотоп после проверки удаляется из множества
X
):
a) если
[
f
] ([x])
∩
[
l
] =
∅
, то параллелотоп
[x]
не добавляется в
множество
P
;
б) если
[
f
] ([x])
⊆
[
l
]
, или
[
f
] ([x])
∩
[
l
]
6
=
∅
, ω
([x])
< ε
, то добавить
параллелотоп
[x]
в множество
P
;
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2016. № 1 35