11 / 18
интервальное управление находится по формуле
[
u
] (
t
)
∈
[
u
(
τ
i
)] =
= [
u
(
τ
i
) ;
u
(
τ
i
)]
,
τ
i
≤
t < τ
i
+1
,
i
= 0
, . . . , N
−
1
.
Для кусочно-линейного интервального управления (рис. 2,
б
) необ-
ходимо задать дополнительное значение управления
u
(
t
)
на послед-
нем временном интервале. Поэтому интервальный вектор, который
ставится в соответствие управлению, имеет вид
[
u
]
=
= [
u
1
(
τ
0
)]
×
. . .
×
[
u
q
(
τ
0
)]
|
{z
}
[
u
(
τ
0
)]
×
. . .
×
[
u
1
(
τ
N
)]
×
. . .
×
[
u
q
(
τ
N
)]
|
{z
}
[
u
(
τ
N
)]
. Интерваль-
ное управление определяется по формуле
[
u
] (
t
)
∈
τ
i
+1
−
t
τ
i
+1
−
τ
i
[
u
(
τ
i
)] +
+
t
−
τ
i
τ
i
+1
−
τ
i
[
u
(
τ
i
+1
)]
,
τ
i
≤
t < τ
i
+1
,
i
= 0
, . . . , N
−
1
.
Интервальной траекторией называется решение уравнения (2) с
начальным условием (3), соответствующее заданному интервальному
управлению. Если система (2), описывающая поведение модели объ-
екта управления, не жесткая, то для ее численного интегрирования
применяют явные методы (методы Эйлера, Эйлера – Коши, методы
Рунге – Кутты различных порядков и др.). Если система (2) жесткая, то
используют неявные методы численного интегрирования (неявный ме-
тод Эйлера, метод трапеций, методы Адамса –Моултона, Гира и др.).
Вычисление правых частей системы (2) проводится по правилам ин-
тервальной арифметики [4].
Отметим, что описанные процедуры могут быть использованы
при других способах параметризации управления, например, кусочно-
полиномиальном, или при разложении по системам ортонормирован-
ных базисных функций.
Решение прикладных задач.
На основе приведенного алгорит-
ма написана программа поиска субоптимального интервального про-
граммного управления. Среда разработки Microsoft Visual Studio, язык
программирования C#.
Для исследования эффективности разработанного метода и про-
граммного обеспечения использованы принципы, изложенные в рабо-
те [14]: полученное приближенное решение необходимо сравнить с
точным решением (если известно), с результатами применения прин-
ципа максимума, а также с результатами применения других методов.
Задача управления химическим процессом
.
Рассмотрим решение
задачи оптимального управления химическим процессом [15, 16]. Мо-
дель объекта управления описывается системой дифференциальных
уравнений
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2016. № 1 43