12 / 18
˙
x
1
(
t
) =
−
(2 +
u
) (
x
1
+ 0
,
25) + (
x
2
+ 0
,
5) exp
25
x
1
x
1
+ 2
;
˙
x
2
(
t
) = 0
,
5
−
x
2
−
(
x
2
+ 0
,
5) exp
25
x
1
x
1
+ 2
;
˙
x
3
(
t
) =
x
2
1
+
x
2
2
+ 0
,
1
u
2
,
(7)
где
x
1
,
x
2
— отклонения от безразмерной установившейся темпера-
туры и безразмерной установившейся концентрации;
x
3
— величина,
определяющая значение критерия качества при
t
=
t
1
,
t
∈
[0; 0
,
78]
; на-
чальное состояние
x
(0) = (0
,
09; 0
,
09; 0)
т
, ограничение на управление
[u] = [
−
10; 10]
; критерий качества управления
I
=
x
3
(0
,
78)
→
min
.
Результаты решения приведенной задачи методом динамического
программирования (
I
= 0
,
13336
) в виде зависимостей изменений ком-
понент векторов состояния и управления представлены на рис. 3,
а
,
б
[15, 16]. На этом же рисунке приведены результаты решения задачи,
полученные с помощью принципа максимума Понтрягина (локальный
минимум
I
= 0
,
244425
и глобальный минимум
I
= 0
,
133094
), алго-
ритма Нелдера –Мида (
I
= 0
,
1333666
) и генетических алгоритмов
(
I
= 0
,
13341
).
Параметры обобщенного инверсного интервального метода: в ка-
честве метода дискретизации выбран явный метод Рунге – Кутты че-
твертого порядка; области поиска
[s] = [
−
10; 10]
×
. . .
×
[
−
10; 10]
|
{z
}
N
для
кусочно-постоянного управления и
[s] = [
−
10; 10]
×
. . .
×
[
−
10; 10]
|
{z
}
N
+1
для кусочно-линейного управления,
ε
=
ζ
= 0
,
00001
;
N
= 10
. Ре-
зультаты работы алгоритма и исследования эффективности алгоритма
представлены на рис. 3,
в
,
г
и в табл. 1.
Сравнивая значения критерия оптимальности (см. табл. 1) со зна-
чениями, приведенными в работах [15, 16], можно сделать следую-
щий вывод: разработанный алгоритм позволяет найти решение, близ-
кое к глобальному минимуму, не застревая в окрестности локального
минимума, существующего в рассматриваемой задаче. Его эффектив-
ность при заданной точности сравнима с эффективностью алгорит-
мов применения принципа максимума, итерационного динамического
программирования, метода Нелдера –Мида и эволюционных алгорит-
мов. Кусочно-линейное управление предпочтительнее по функциона-
лу, чем кусочно-постоянное. Полученные результаты иллюстрируют
применимость теорем 1 и 2, поскольку находится решение задачи
ε
-
минимизации и гарантируется принадлежность глобального оптимума
к получаемому интервалу значений критерия оптимальности.
44 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2016. № 1