5 / 19
Следует отметить, что фамилии Адамара, Пэли и Хармута включе-
ны в названия систем ОФХ по аналогии с системами ВКФ [9, 11].
Обобщенные преобразования Хартли.
Обобщенные преобразо-
вания Хартли (ОПХ) представляются в виде следующей пары ДПФ
X
x
(
k
) =
1
N
N
−
1
X
i
=0
x
(
i
) Cas(
k, i
)
,
(7)
x
(
i
) =
N
−
1
X
k
=0
X
x
(
k
) Cas(
k, i
)
,
(8)
где
x
(
i
)
являются отсчетами дискретного входного сигнала, а
X
x
(
k
)
—
составляющими его обобщенного спектра Хартли. Обе решетчатые
функции
x
(
i
)
и
X
x
(
k
)
в ОПХ являются действительными и опреде-
лены на целочисленном интервале
[0
, N
)
. Практическая реализация
прямого ОПХ (7) потребует выполнения
M
п
=
N
2
, A
п
=
N
(
N
−
1)
(9)
вещественных умножений и сложений соответственно. При больших
значениях
N
их число становится существенными.
Обобщенные функции Хартли и ВКФ используют в своей струк-
туре одинаковые обобщенные функции (1) и (2). В этом смысле обе
соответствующие системы этих функций являются родственными и их
отличие состоит только в том, что в действительных ОФХ эти функ-
ции используются в качестве слагаемых, а в комплексных ВКФ — в
качестве их действительной и мнимой частей [8, 9]. Спектры в род-
ственных базисах всегда взаимосвязаны и, как показано автором в
работе [11], эта связь между спектрами
X
ВК
(
k
)
в базисе ВКФ и
X
x
(
k
)
в базисе ОФХ выражается следующими уравнениями:
X
ВК
(
k
) = [
X
x
(
k
) +
X
x
(
−
k
)]
/
2
−
j
[
X
x
(
k
)
−
X
x
(
−
k
)]
/
2
,
(10)
X
x
(
k
) =
Re
[
X
ВК
(
k
)] +
Im
[
X
ВК
(
k
)]
.
(11)
Здесь
j
=
√ −
1
является мнимой единицей, Re
[
∙
]
и Im
[
∙
]
служат
для обозначения действительной и мнимой частей спектра, а
X
x
(
−
k
)
представляет собой спектр ОФХ для отрицательных значений номера
k
.
Практическое использование уравнений связи (10) и (11) требу-
ет знания спектральных составляющих с отрицательными номерами.
Последние легко определить, если учесть, что каждому отрицательно-
му значению номера
k
в ОФК соответствует положительный номер
k
∗
,
причем номера
−
k
и
k
∗
являются
p
-ично противоположными числами,
разряды
p
-ичных кодов которых связаны соотношением
−
k
(
m
)
=
k
∗
(
m
)
= (
p
−
k
(
m
)
) (mod
p
)
.
(12)
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 6 67