4 / 19
Sin(
k, i
) = sin
2
π
p
n
X
m
=1
k
(
m
)
i
(
m
)
(2)
и записываются как
Cas(
k, i
) = cos(
k, i
) + sin(
k, i
)
.
(3)
Они представляют собой обобщение известных функций Хартли [12,
13] на одноосновную систему счисления с произвольным основанием
р
. В формулах (1)–(3) величина
р
принимает положительные целочи-
сленные значения, а
k
(
m
)
и
i
(
m
)
—
m
-разрядные представления номера
функции
k
и ее аргумента
i
в виде
n
-разрядных позиционных кодов
k
=
n
X
m
=1
k
(
m
)
p
m
−
1
;
i
=
n
X
m
=1
i
(
m
)
p
m
−
1
(4)
и лежат в диапазоне
[0
, p
)
. Обобщенные функции Хартли
Cas(
k, i
)
являются действительными ортонормированными функциями, опре-
деленными на интервале
[0
, N
=
p
n
)
(
n
= 1
,
2
, . . .
), и принимают на
нем
N
различных значений. Они обладают свойством двойственности
Cas(
k, i
) = Cas(
i, k
)
и периодичности с периодом, равным
N
. Среднее значение всех ОФХ,
кроме нулевой, равно нулю, среднее значение функции
Cas(0
, i
) = 1
.
Объединение
N
первых ОФХ приводит к полной базисной системе,
пригодной для представления любых решетчатых сигналов конечной
мощности, определенных на дискретном интервале
[0
, N
)
. Базисная
система ОФХ, описываемых выражением (3), отличается тем, что ма-
трица ее значений имеет блочную структуру [11]. Подобным свой-
ством обладает матрица ВКФ для упорядочения Адамара [8, 9]. По
аналогии и базисную систему ОФХ (3) называют системой ОФХ –
Адамара [11]. Заменяя в этой системе прямой код чисел
k
на инверс-
ный
k
, получаем из нее систему ОФХ – Пэли
Cas(
k, i
) = cos
2
π
p
n
X
m
=1
k
(
n
+1
−
m
)
i
(
m
)
+ sin
2
π
p
n
X
m
=1
k
(
n
+1
−
m
)
i
(
m
)
,
(5)
а заменяя прямой код чисел
k
их обобщенным кодом Грея
< k >
, —
систему ОФХ – Хартли
Cas(
< k >, i
) = cos
2
π
p
n
X
m
=1
< k
(
m
)
>i
(
m
)
+sin
2
π
p
n
X
m
=1
< k
(
m
)
> i
(
m
)
.
(6)
Разряды
< k
(
m
)
>
обобщенного кода Грея в системе счисления с осно-
ванием
p
вычисляются по правилу
< k
(
m
)
>
=
k
(
m
)
+
k
(
m
+1)
(mod
p
)
, k
(
n
+1)
= 0
.
66 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 6