Быстрые обобщенные преобразования Хартли в одноосновных системах счисления

ВКФ к хартли-подобной вещественной структуре с помощью примене-

ния к обобщенным тригонометрическим функциям процедуры Хартли

[12, 13], ориентированной на одноосновную систему счисления с про-

извольным основанием.

Для новых обобщенных функций Хартли (ОФХ) также справедли-

вы все теоремы спектрального анализа [11], поэтому в этом смысле

они являются вещественной альтернативой комплексным ВКФ. Од-

нако эти функции не имеют свойства мультипликативности, и к ним

напрямую не применимы существующие для ВКФ методы синтеза бы-

стрых преобразований. Интересы же практического применения ОФХ

требуют создания быстрых алгоритмов анализа спектра.

Существует два подхода к синтезу быстрых преобразований Фурье

(БПФ). Первый подход использует матричную форму описания ДПФ

и основывается на различных способах факторизации матриц значе-

ний базисных функций [8–11]. Быстрые преобразования Фурье в этом

случае представляются произведением слабо заполненных матриц и

их программирование требует дополнительного этапа преобразования

матричных уравнений к алгебраическому виду. Во втором подходе

используется скалярная форма записи ДПФ и декомпозиция многото-

чечных ДПФ на совокупность последовательно выполняемых малото-

чечных ДПФ. Последнее выполняется различными способами проре-

живания многомерных массивов входного сигнала и спектра. Второй

подход приводит к алгоритмам БПФ, записанным сразу в виде анали-

тических выражений, удобных для последующего программирования.

Относительная трудность при реализации второго подхода возни-

кает при определении математической связи между много- и малото-

чечными базисными функциями. Для базиса ВКФ такая задача автором

решена путем анализа

-ичных кодов индексов прореженных массивов

[8, 10]. Аналогичным образом можно ее решить и для базиса ОФХ.

Однако для ОФХ можно предложить более простой способ реали-

зации скалярного подхода, использующий существующую аналитиче-

скую взаимосвязь обобщенных спектров Хартли и спектров Вилен-

кина – Крестенсона [8, 11] и позволяющий трансформировать извест-

ные алгоритмы БПВК в новые быстрые обобщенные преобразования

Хартли (БОПХ). Цель настоящей работы — разработка такого метода

синтеза БОПХ для трех наиболее изученных систем ОФХ — Пэли,

Адамара и Хармута.

Обобщенные функции и системы Хартли.

Дискретные ОФХ

образуются из обобщенных тригонометрических функций

Cos(

k, i

) = cos

(

)

(

)

(1)

ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 6 65