8 / 16
Доказательство.
Выберем функцию Ляпунова в виде
V
=
m
P
k
=1
V
k
;
V
k
(
s
k
,
˜
b
k
,
˜
κ
k
) =
1
2
s
2
k
+
1
2
α
1
g
kk
˜
b
T
k
˜
b
k
+
1
2
α
2
g
kk
(˜
κ
k
)(˜
κ
k
)
.
(31)
Дифференцируя (31) по времени, с учетом (27), (28), (29) и (30), можно
записать:
˙
V
k
(
s
k
,
˜
b
k
,
˜
κ
k
) =
=
s
k
˙
s
k
+
1
α
1
|
g
kk
|
˜
b
T
k
˙˜
b
k
+
1
α
2
|
g
kk
|
(˜
κ
k
)( ˙˜
κ
k
) =
=
s
k
g
kk
h
˜
b
T
k
w
k
+
ξ
k
−
u
rb
k
i
+
1
α
1
|
g
kk
|
˜
b
T
k
˙˜
b
k
+
1
α
2
|
g
kk
|
(˜
κ
k
)( ˙˜
κ
k
) =
=
|
g
kk
|
˜
b
T
k
s
k
w
k
sgn
(
g
kk
) +
˙˜
b
k
α
1
+
s
k
g
kk
ξ
k
−
u
rb
k
+
1
α
2
|
g
kk
|
(˜
κ
k
)( ˙˜
κ
k
) =
=
s
k
g
kk
ξ
k
−
s
k
g
kk
_
κ
k
sgn (
g
kk
) sgn (
s
k
)
−
1
α
2
|
g
kk
|
(˜
κ
k
)
α
2
|
s
k
|
=
=
s
k
g
kk
ξ
k
− |
s
k
| |
g
kk
|
_
κ
k
+˜
κ
k
=
s
k
g
kk
ξ
k
− |
s
k
| |
g
kk
|
(
κ
k
) =
=
s
k
g
kk
ξ
k
− |
s
k
| |
g
kk
|
(
κ
k
)
≤
(
|
s
k
| |
g
kk
|
ξ
k
− |
s
k
| |
g
kk
|
(
κ
k
)) =
=
−
(
|
s
k
| |
g
kk
|
(
κ
k
− |
ξ
k
|
))
≤
0
.
(32)
Определим функцию
Γ(
t
) =
m
X
i
=1
(
|
s
k
| |
g
kk
|
(
ψ
k
− |
ξ
k
|
))
≤ −
˙
V .
(33)
Интегрируя обе части этого уравнения по времени, получаем
t
Z
0
Γ(
τ
)
dτ
≤
V
(
S
(0)
,
˜
B,
˜Ψ)
−
V
(
S
(
t
)
,
˜
B,
˜Ψ)
,
(34)
где величина
V
(
S
(0)
,
˜
B,
˜Ψ)
ограничена, а функция
V
(
S
(
t
)
,
˜
B,
˜Ψ)
, по
крайней мере, не возрастает, поэтому
t
Z
0
Γ(
τ
)
dτ
≤ ∞
.
(35)
Поскольку функция
˙
V
неположительна и учитывая тот факт, что
абсолютные значения функций в (33) равномерно непрерывны, можно
сделать заключение (с учетом леммы Барбалата), что
lim
t
→∞
Γ(
t
) = 0
.
(36)
Таким образом, при
t
→ ∞
скользящая поверхность
S
(
t
)
→
0
равно-
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 6 37