8 / 12
углом
t
(
H
0
, θ
) =
θ
Z
0
∂p
θ
∂H
0
(
H
0
, θ
0
)
dθ
0
.
(14)
Для обобщенного импульса зависимость
p
θ
(
H
0
, θ
0
)
может быть по-
лучена из (9):
p
θ
(
H
0
, θ
) =
= 2
I
x
1
H
0
−
1
2
(
I
x
1
−
I
z
1
)
ω
2
sin
2
θ
−
MY Sω
2
sin
θ
+
MgS
cos
θ
1
2
.
(15)
Следовательно,
∂p
θ
∂H
0
= 2
I
x
1
p
−
1
θ
. Зависимость (14) с помощью (15)
перепишем так:
t
(
H
0
, θ
) = 2
I
x
1
θ
Z
0
p
−
1
θ
(
H
0
, θ
0
)
dθ
0
.
(16)
При фиксированной начальной энергии
H
0
зависимости (15) и (16)
определяют скорость вращения маятника относительно оси подвеса
˙
θ
(
H
0
, θ
) =
I
−
1
x
1
p
θ
(
H
0
, θ
)
и время
t
(
H
0
, θ
)
как функции угла поворота
маятника относительно той же оси. Таким образом, в параметрическом
виде (параметр — угол
θ
) получена временн´ая зависимость
˙
θ
(
H
0
, t
)
.
Численный эксперимент.
Интегралы (15), (16), задающие указан-
ные выше зависимости, не могут быть представлены через элементар-
ные функции, нет и подходящих для этого специальных функций. В то
же время можно организовать вычислительный процесс на компьюте-
ре так, что будет получена зависимость угловой скорости от времени.
Для этого на оси декартова графика (используется пакет MathCAD13)
выводятся массивы
˙
θ
(
H
0
, t
)
и
t
(
H
0
, θ
)
при заданном массиве
θ
в ви-
де равномерно распределенных по интервалу
[0
,
2
π
]
точек. Начальная
энергия фиксируется заданием начального угла
θ
0
= 0
и начальной
скорости
˙
θ
0
:
H
0
=
1
2
I
x
1
˙
θ
2
0
−
MgS.
(17)
Начальная энергия (начальная угловая скорость) должна быть доста-
точно большой, чтобы гарантировать вращение (а не колебания).
Приведем зависимости, характеризующие вращательное движе-
ние, для удобства они представлены в безразмерных системах коорди-
нат. Все приводимые зависимости периодичны по своему аргументу,
поэтому рассматривается только один период. Угол поворота норми-
рован на период
2
π
, время нормировано на период
T
NL
= 2
π/
Ω
NL
.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 5 131