7 / 12
Канонические переменные.
Рассматриваемая система консерва-
тивна, поэтому ее полная энергия — инвариант:
H
=
H
0
, где
H
0
—
энергия начального состояния. Вместо обобщенных координаты и им-
пульса
{
θ, p
θ
}
введем новые канонические переменные: действие
I
(как новый импульс) и фазу
Φ
(как новую координату). Производя-
щая функция такого канонического преобразования [3] имеет вид
1
S
(
H
0
, θ
) =
θ
Z
0
p
θ
(
H
0
, θ
0
)
dθ
0
. Действие определим как
I
(
H
0
) =
1
2
π
2
π
Z
0
p
θ
(
H
0
, θ
0
)
dθ
0
.
(10)
Здесь именно выбор верхнего предела соответствует рассмотрению
либрационного (а не колебательного) движения маятника.
Вторую каноническую переменную определим через производя-
щую функцию также
Φ (
H
0
, θ
) =
∂S
(
H
0
, θ
)
∂I
=
=
θ
Z
0
∂p
θ
(
H
0
, θ
0
)
∂I
dθ
0
=
θ
Z
0
∂p
θ
(
H
0
, θ
0
)
∂H
0
∂H
0
∂I
dθ
0
.
(11)
Для действия и фазы уравнения Гамильтона имеют вид
dI
dt
=
−
∂ H
∂
Φ
,
d
Φ
dt
=
∂ H
∂ I
. Согласно формуле (10), гамильтониан зависит только
от действия. Следовательно, фаза есть циклическая переменная и
dI/dt
= 0
, т.е. действие сохраняется, что видно и из формулы (10).
Скорость изменения фазы (второе уравнение Гамильтона) обозначим
через
Ω
NL
:
d
Φ
dt
=
∂H
0
∂I
=
∂I
∂H
0
−
1
= Ω
NL
.
(12)
Используя (12), перепишем (11) так:
Φ (
H
0
, θ
) = Ω
NL
θ
Z
0
∂p
θ
(
H
0
, θ
0
)
∂H
0
dθ
0
.
(13)
Как видно из (11), время равно
t
= Φ
/
Ω
NL
. Используем это соот-
ношение совместно с (13) для определения связи между временем и
1
Здесь и далее различия между величинами
H
и
H
0
не делается.
130 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 5