2 / 12
Введение.
Физический маятник (твердое тело, вращающееся без
трения относительно одной оси, c центром масс вне этой оси) — клас-
сический пример нелинейной консервативной системы с одной степе-
нью свободы и одним действующим моментом — моментом силы тяже-
сти. Данный пример всесторонне исследован, результаты исследова-
ния приведены в многочисленных источниках (например, работа [1]).
Описание движения маятника получено как на фазовой плоскости,
так и во временн´ом представлении: обобщенная координата (угол) и
обобщенный импульс (кинетический момент) определены как функ-
ции времени. В случае немалых колебаний и вращательного движения
маятника это эллиптические функции Якоби. Они табулированы, их
свойства известны, но временн´ая зависимость не всегда может быть
показана графически. В общем случае немалые колебания и враще-
ния физического маятника исследованы только качественно. Проще
и точнее представлять движение маятника в виде ряда Фурье. Такие
результаты тоже известны. Другой путь — строить временн ´ые зави-
симости с помощью компьютера, не прибегая к программированию
(т.е. в среде транслятора). Этот путь неоднозначен, возможны вари-
анты. Один из них будет приведен в настоящей работе, но для более
сложной модели, чем простой физический маятник.
Рассмотрим следующую модель. Маятниковый подвес (в котором
установлена ось вращения маятника без трения в подшипниках) уста-
новлен (или подвешен) на платформе, вращающейся с известной по-
стоянной угловой скоростью. Число степеней свободы маятника в та-
ком подвесе не увеличивается. Однако он движется в неинерциальной
системе отсчета. Силы инерции создают дополнительный момент на
оси вращения, который должен зависеть не только от скорости вра-
щения платформы, но и от угла поворота маятника. В зависимости
от начальной энергии (она инвариант в этой системе) маятник может
либо совершать немалые колебания, либо вращаться.
В случае немалых колебаний обычно ограничиваются определени-
ем на фазовой плоскости соответствующих особых точек (центров).
В отличие от маятника на неподвижном подвесе в общем случае мо-
жет быть две особые точки. Определяют также частоту малых коле-
баний в окрестности этих центров. Что касается вращательного дви-
жения (либрации), то оно, насколько известно, для такой модели не
рассматривалось. В то же время вращательное движение представля-
ет несомненный практический интерес. Теоретическое исследование
вращательного движения важно потому, что в более сложных моде-
лях, например в задачах электропривода, его аналитическое описание
может быть использовано как порождающее решение (в теории воз-
мущений).
Постановка задачи — найти зависимость угловой скорости либра-
ции физического маятника на вращающемся с постоянной угловой
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 5 125