5 / 12
основания конуса), то
M
=
ρV
M
=
π
3
ρh
3
tg
2
α
. Для конуса
S
=
3
4
h
.
Главные моменты инерции маятника обозначим как
I
x
1
, I
y
1
, I
z
1
. Это
моменты инерции осесимметричного конуса относительно главных
осей инерции в его вершине. Известно [3], что
I
x
1
=
I
y
1
=
3
5
M
R
2
M
4
+
h
2
=
3
20
Mh
2
4 + tg
2
α
;
I
z
1
=
3
10
MR
2
M
=
3
10
Mh
2
tg
2
α.
(1)
Кинетическая энергия системы.
Маятник, неподвижный отно-
сительно ССК, относительно БСК движется как поступательно, так
и вращается с угловой скоростью
~
Ω
. Поэтому кинетическая энергия
T
=
T
V
O
1
+
T
Ω
+
T
in
подвеса с маятником на вращающейся платформе
включает в себя три составляющих: 1) энергия вращательного движе-
ния
T
Ω
; 2) энергия поступательного движения
T
V
O
1
; 3) кинетическая
энергия
T
in
, связанная с действием сил инерции вследствие вращения
платформы.
Энергия поступательного движения определяется линейной ско-
ростью
~V
O
1
движения начала отсчета ССК, т.е. точки подвеса маят-
ника
O
1
. Эта скорость описывается выражением (квадратная скоб-
ка — векторное произведение)
~V
O
1
=
d ~R
O
1
dt
=
h
~
˙
ϕ, ~R
O
1
i
. Поскольку
~R
O
1
=
X~n
x
+
Y ~n
y
+
Z~n
z
0
,
~
˙
ϕ
= ˙
ϕ~n
z
0
, то
~V
O
1
=
~n
x
~n
y
~n
z
0
0 0 ˙
ϕ
X Y Z
=
−
˙
ϕY ~n
x
+ ˙
ϕX~n
y
.
(2)
Отсюда
T
O
1
=
1
2
MV
2
O
1
=
1
2
M ~V
O
1
∙
~V
O
1
=
1
2
M
˙
ϕ
2
X
2
+
Y
2
.
(3)
Известно [4], что
T
in
=
−
M ~V
O
1
∙
h
~
Ω
, ~R
m
i
. При
~
Ω = ˙
θ~n
x
+ ˙
ϕ~n
z
0
и
~R
m
=
S~n
z
1
=
S
(cos
θ~n
z
0
−
sin
θ~n
y
)
находим
h
~
Ω
, ~R
m
i
=
~n
x
~n
y
~n
z
0
˙
θ
0
˙
ϕ
0
−
S
sin
θ S
cos
θ
=
S
˙
ϕ
sin
θ~n
x
−
S
˙
θ
cos
θ~n
y
−
S
˙
θ
sin
θ~n
z
0
.
Тогда
T
in
=
M Y S
˙
ϕ
2
sin
θ
+
XS
˙
θ
˙
ϕ
cos
θ .
(4)
Вращательная составляющая кинетической энергии определяется
по известной формуле [3]:
128 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 5