6 / 12
T
Ω
=
1
2
I
x
1
Ω
2
x
1
+
1
2
I
y
1
Ω
2
y
1
+
1
2
I
z
1
Ω
2
z
0
=
1
2
I
x
1
Ω
2
x
1
+ Ω
2
y
1
+
1
2
I
z
1
Ω
2
z
1
,
где
Ω
x
1
,
Ω
y
1
,
Ω
z
0
— проекции угловой скорости вращения системы
~
Ω
на оси инерции ССК. Очевидно, что при
~
Ω = ˙
θ~n
x
+ ˙
ϕ~n
z
0
получим
Ω
x
1
= ˙
θ,
Ω
y
1
= ˙
ϕ
sin
θ,
Ω
z
1
= ˙
ϕ
cos
θ
. В результате
T
Ω
=
1
2
I
x
1
˙
θ
2
+ ˙
ϕ
2
sin
2
θ
+
1
2
I
z
1
˙
ϕ
2
cos
2
θ.
(5)
В силу (3)—(5) кинетическая энергия равна
T
=
1
2
M X
2
+
Y
2
˙
ϕ
2
+
1
2
I
x
1
˙
θ
2
+ ˙
ϕ
2
sin
2
θ
+
1
2
I
z
1
˙
ϕ
2
cos
2
θ
+
+
M Y S
˙
ϕ
2
sin
θ
+
XS
˙
θ
˙
ϕ
cos
θ .
(6)
Только одно слагаемое
1
2
I
x
1
˙
θ
2
связано с вращением маятника во-
круг оси подвеса. Все остальные составляющие кинетической энергии
определяются вращением платформы, так как зависят от угловой ско-
рости ее вращения.
Гамильтониан системы.
Система имеет одну степень свободы с
обобщенной координатой
θ
. Потенциал действующей силы тяжести
U
=
−
MgS
cos
θ
. Лагранжиан системы равен
Λ =
T
−
U
или с уче-
том (6)
Λ =
1
2
M X
2
+
Y
2
˙
ϕ
2
+
1
2
I
x
1
˙
θ
2
+ ˙
ϕ
2
sin
2
θ
+
1
2
I
z
1
˙
ϕ
2
cos
2
θ
+
+
M Y S
˙
ϕ
2
sin
θ
+
XS
˙
θ
˙
ϕ
cos
θ
+
MgS
cos
θ.
В лагранжиане могут быть опущены слагаемые, являющиеся пол-
ными производными какой-либо функции. Поэтому окончательный
вид выражения для лагранжиана следующий:
Λ =
1
2
I
x
1
˙
θ
2
+
1
2
(
I
x
1
−
I
z
1
)
ω
2
sin
2
θ
+
MY Sω
2
sin
θ
+
MgS
cos
θ.
(7)
В (7) было учтено, что угловая скорость вращения платформы из-
вестна и постоянна
˙
ϕ
=
ω
. Определим обобщенный импульс
p
θ
ма-
ятника (в этом случае — его кинетический момент). По определению
p
θ
=
∂
Λ
/∂
˙
θ
, следовательно
p
θ
=
I
x
1
˙
θ.
(8)
Гамильтониан есть функция
p
θ
,
θ
вида
H
=
T
+
U
. Тогда с учетом
(7), (8) получим
H
=
1
2
I
−
1
x
1
p
2
θ
+
1
2
(
I
x
1
−
I
z
1
)
ω
2
sin
2
θ
+
MY Sω
2
sin
θ
−
MgS
cos
θ.
(9)
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 5 129