Динамическую систему, для которой выполнено условие (8), при-
нято называть локально наблюдаемой в области
X
×
T
. Локальность
в этом определении подчеркивает то обстоятельство, что наблюдае-
мость системы рассматривается здесь, во-первых, лишь в некоторой
окрестности точки
x
0
и, во-вторых, на некотором вполне определен-
ном множестве точек
t
j
2
T
, определяемом программой измерений.
Отметим, ограничения здесь накладываются не только на область
(окрестность) множества состояний нелинейной системы, что очевид-
но, но также и на множество времен (временную программу) прове-
дения измерений.
Воспользуемся теперь условием аналитичности правых частей
уравнений (1) и (2) и представим
k
-ю координату вектор-функции
y(
t
)
в виде степенного ряда, сходящегося в области выполнения усло-
вия аналитичности рассматриваемых функций.
ϕ
k
=
∞
X
l
=0
Φ
(
l
)
k
(
t
−
t
0
)
l
l
!
,
(9)
где коэффициенты
Φ
(
l
)
k
вычислены в точке
x
0
множества Х
0
. Соот-
ветственно, с помощью указанных коэффициентов может быть соста-
влена новая матрица
J
, включающая
n
строк и бесконечное (в силу
бесконечного числа членов разложения) число столбцов:
J
k
=
" "
d
Φ
(0)
k
d
x
0
#
т
,
"
d
Φ
(1)
k
d
x
0
#
т
, . . .
"
d
Φ
(
l
)
k
d
x
0
#
т
. . .
#
.
(10)
Профессором Г.Н. Разореновым было доказано следующее утвер-
ждение: ранги матриц I
(
n,n
)
k
и J
k
принимают свое наибольшее возмож-
ное значение, равное
n
, лишь одновременно, причем этот вывод не
зависит от программы измерений почти всюду на
T
.
Объединив далее все матрицы J
k
в единую блочную, можно дока-
зать, что условие наблюдаемости (8) будет справедливо и при исполь-
зовании матрицы J
k
, т.е. справедливо и следующее условие:
rank
[J] =
n,
(11)
где
J = [J
1
,
J
2
, . . .
J
n
]
.
В случае линейных стационарных систем условие (11) легко пре-
образуется к виду (4).
Следующий вопрос, требующий обсуждения, касается возможно-
сти распространения приведенных результатов на всю область воз-
можных начальных условий.
Предположим, что J
k
— матрица (
n
×
n
), составленная из столбцов
J
.
Элементы этой матрицы будут представлять собой некоторые функции
22 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012. № 4
