фазового пространства, может быть ненаблюдаема в другой его части
и наоборот.
Предположим, что правые части уравнений (1) и (2) являются ана-
литическими функциями переменных
t
и
x(
t
)
. Будем считать также,
что уравнение (1) удовлетворяет условиям теоремы единственности
решения, так что между множеством начальных условий Х
0
и множе-
ством текущих состояний системы Х существует взаимно однозначное
соответствие
Х
0
,
Х
.
(5)
Тем самым определено, что в областях Х
0
и Х условия наблюдае-
мости эквивалентны.
Предварительно требуется установить условия взаимно однознач-
ного соответствия между множествами Х
0
и Y.
Следуя [3, 4], будем считать, что указанные множества взаимно
однозначны в том смысле, что при любой программе измерений, ре-
ализуемой в моменты времени
t
j
на интервале
[0
, t
k
]
, где
1
6
j
6
n
,
может быть указано множество из
n
чисел
ϕ
k
(
t
j
)
, где
1
6
k
6
m
, вза-
имно однозначное с множеством из
n
чисел
x
i
0
, где
x
i
0
— компоненты
вектора
x
0
2
X
0
. Предположим, что для любого произвольного век-
тора
x
0
2
X
0
могут быть записаны
n
значений
k
-й координаты
ϕ
k
(
t
)
вектор-функции
ϕ
(
t
)
в
n
моментов времени
t
j
:
ϕ
k
(
t
j
,
x (
t
j
,
x
0
)) =
ϕ
k
(x
0
)
, k
= 1
,
2
, . . . , n,
(6)
где
ϕ
k
(x
0
)
при фиксированных
t
j
представляет собой некоторые функ-
ции переменных
x
0
. Эти функции непрерывно дифференцируемы в
окрестности точки
x
0
в силу своей аналитичности, поэтому условие
взаимно однозначного соответствия между множествами
ϕ
k
(x
0
)
и
x
i
0
в окрестности
x
0
определяется условиями теоремы существования не-
явных функций, состоящими в том, чтобы определитель фундамен-
тальной матрицы Якоби (якобиан)
I
(
n,n
)
k
=
∂ϕ
k
∂x
1
0
(
t
1
)
∙ ∙ ∙
∂ϕ
k
∂x
n
0
(
t
1
)
...
...
∂ϕ
k
∂x
1
0
(
t
n
)
∙ ∙ ∙
∂ϕ
k
∂x
n
0
(
t
n
)
=
dϕ
k
dx
0
(
t
1
)
...
dϕ
k
dx
0
(
t
n
)
(7)
был бы невырожденным на интервале
[0
, T
]
.
Если теперь сформировать блочную матрицу
I
размером
(
n
×
m
∙
n
)
путем объединения всех матриц I
(
n,n
)
k
,
k
= 1
, . . . , n
, то в соответствии
с работой [2] условие существования взаимно однозначного соответ-
ствия между множествами Х
0
и Y в окрестности точки
x
0
будет иметь
вид
rank
[I] =
n.
(8)
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012. № 4 21
