Будем считать, что измерения “прошли” предварительную обра-
ботку с соответствующей отбраковкой аномальных данных и “убрано”
или “снижено” влияние систематических составляющих.
Очевидно, что вектор
z
, представляемый в виде выборки, и сово-
купный вектор ошибок измерений
h
будут иметь одинаковую размер-
ность, равную
mN
.
Поскольку ошибки измерений имеют
m
h
= 0
, необходимо так
построить схему обработки результатов измерений вектора
q
, чтобы
оценки ошибок измерений были близки к нулю. Понятно, что конкрет-
ные значения реализаций каждой ошибки не являются показателем
оптимальности решения. Важно, чтобы они были близки к нулю в со-
вокупности. Для этого достаточно потребовать, чтобы квадрат длины
вектора ошибок
h
т
h
был бы минимальным. На этом условии базиру-
ется наиболее широко используемый на практике метод наименьших
квадратов.
Ошибки измерений часто являются неравноточными по времени
или по физической природе измеряемых функций. Это дает основа-
ние ввести понятие “веса измерений”, задав его в виде матрицы
Q
h
.
Соответственно, в этом случае критерий оптимальности приобретает
вид
h
т
Q
h
= h
−
1
, а метод определения оценок на основе данного кри-
терия иногда называют методом взвешенных наименьших квадратов.
Система уравнений для определения оценок неизвестных параме-
тров при этом записывается в виде
d
u (q
,
t)
d
q
Q
h
[z
−
u (q
,
t)] = 0
,
(27)
а наилучшая оценка параметра
q
, ищется в форме
q = R
q
Ψ
т
Q
h
z
,
(28)
где элементы матрицы
R
q
зависят от моментов времени измерений.
Поскольку произведение весовой матрицы на невязку в общем слу-
чае не равно нулю, то справедливо требование
d
u (q
,
t)
d
q
= 0
,
(29)
эквивалентное для критерия
D
-оптимальности (при
j
, принимающему
значение
t
в (20)) уравнению
∂
|
R
q
|
∂t
k
= 0 (
k
= 1
, . . . , N
)
.
(30)
В силу монотонности логарифмической функции можно записать
∂
ln
|
R
q
|
∂t
k
=
Sp
R
−
1
ˆ
q
∂
R
ˆ
q
∂t
k
= 0
,
(
k
= 1
, . . . , N
)
.
(31)
28 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012. № 4
