Окончательно, в соответствии с (26) получаем следующую систему
уравнений:
d
11
k
=
z
1
k
(u
r
k
)
−
ν
0
в1
+
z
1
k
(x
r
k
)
c
11
k
;
d
22
k
=
z
2
k
(u
r
k
)
−
ν
0
в2
+
z
2
k
(x
r
k
)
c
22
k
;
d
33
k
=
z
3
k
(u
r
k
)
−
ν
0
п1
+
z
3
k
(x
r
k
)
c
33
k
;
d
44
k
=
z
4
k
(u
r
k
)
−
ν
0
п2
+
z
4
k
(x
r
k
)
c
44
k
.
(31)
В системе (31) элементы
z
являются отрицательными в соответ-
ствии с формулами (28), (30). Элементы
ν
0
ij
≥
0
ν
0
ij
≥
0
, следователь-
но, при
c
iik
≥
0
,
i
= 1
,
4
элементы
d
iik
<
0
, i
= 1
,
4
,
8
t
2
[0
,
∞
)
.
(32)
Тогда, как указано в [9, стр. 39], нулевое решение системы (20)
в соответствии с системой (2) экспоненциально устойчиво, а из (18)
следует, что (16) асимптотически устойчиво относительно асимптоты
x
r
k
(
t
)
.
Замечание 1.
Более полное определение экспоненциальной устой-
чивости требует проверки неравенства (33).
Определение 2
[9]. Нулевое решение системы (25) является экспо-
ненциально устойчивым, если существуют положительные константы
α
и
β
, такие что
k
y
k
(
t
)
k ≤
αe
−
β
(
t
−
t
0
)
k
y
k
(
t
0
)
k
, t
≥
t
0
.
(33)
Проверим (33). Поскольку
D
k
(
t
)
в (25) — диагональная матрица,
то система (25) может быть представлена в следующем виде
˙
y
ik
=
d
iik
(
t
)
y
ik
, d
iik
<
0
, y
ik
≥
0
, i
= 1
,
4
.
(34)
Решим эти уравнения
˙
y
ik
y
ik
=
d
iik
(
t
)
,
ln
y
ik
|
t
t
0
=
Z
t
t
0
d
iik
(
t
)
dt, y
ik
(
t
) =
y
k
(
t
)
e
−
R
t
t
0
−
d
iik
(
t
)
dt
,
где функции
−
d
iik
(
t
)
>
0
и
inf
t
(
−
d
iik
(
t
)) =
β
iik
.
(35)
Тогда
y
ik
(
t
) =
y
k
(
t
0
)
e
−
R
t
t
0
−
d
iik
(
t
)
dt
≤
y
k
(
t
0
)
e
−
R
t
t
0
β
iik
dt
=
y
k
(
t
0
)
e
−
β
iik
(
t
−
t
0
)
,
(36)
y
k
(
t
)
≤
y
k
(
t
0
)
e
−
β
iik
(
t
−
t
0
)
≤
y
k
(
t
0
)
e
−
β
(
t
−
t
0
)
, i
= 1
,
4
,
(37)
где
β
= inf
β
iik
, i
= 1
,
4
.
При этом в (37) знак “меньше или равно” сохраняется, так как
β
совпадает с наименьшим из
β
iik
.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012. № 4 11
