Q
k
(
t
) = B
1
(
t
)
x
1
k
(
t
)
, . . . ,
B
m
(
t
)
x
m
k
(
t
)
,
(22)
а нулевое решение системы (20) при фиксированном
k
стабилизиру-
ется управлениями
v
k
= C
k
(
t
)y
k
(
t
)
, k
= 1
, N,
(23)
где матрица
C
k
(
t
)
имеет размер
n
×
n
, а с учетом системы (2),
n
=
m
= 4
.
Управления
u
ik
(
t
)
системы (2) имеют вид
u
ik
(
t
) =
ν
ijk
(
t
)
, ij
= (21
,
22
,
11
,
12)
.
(24)
Подставляя (23) в (20), получаем
˙y
k
= P
k
(
t
)y
k
(
t
) + Q
k
(
t
)C
k
(
t
)y
k
(
t
) =
= (P
k
(
t
) + Q
k
(
t
)C
k
(
t
)) y
k
(
t
) = D
k
(
t
)y
k
(
t
)
,
(25)
где
D
k
(
t
) = P
k
(
t
) + Q
k
(
t
)C
k
(
t
)
.
(26)
4. Применяя соотношения (20)–(26) к системе (2), из формул (9)–
(11) имеем
P
k
(
t
) = E
ν
0
+ Ez
k
(u
r
) = E
ν
0
+ z
k
(u
r
)
,
(27)
где
z
т
k
(u
r
k
) =
−
P
в1
п1
a
п1
ν
r
21
k
,
−
P
в2
п1
a
п1
ν
r
22
k
,
−
P
п1
в1
a
в1
ν
r
11
k
,
−
P
п1
в1
a
в1
ν
r
12
k
=
= (
z
1
k
(u
r
k
)
, z
2
k
(u
r
k
)
, z
3
k
(u
r
k
)
, z
4
k
(u
r
k
))
.
(28)
Выражение (22) в соответствии с (9) с заменой
ν
ij
на
x
k
(
t
)
дает
Q
k
(
t
) = Ez(x
r
k
)
,
(29)
где
z
т
k
(
x
k
) =
−
P
в1
п1
a
п1
x
r
в
1
k
,
−
P
в2
п1
a
п1
x
r
в
2
k
,
−
P
п1
в1
a
п1
x
r
п
1
k
,
−
P
п1
в1
a
в1
x
r
п
2
k
=
= (
z
1
k
(x
r
k
)
, z
2
k
(x
r
k
)
, z
3
k
(x
r
k
)
, z
4
k
(x
r
k
))
.
(30)
Из (27), (29) следует, что матрицы
P
k
(
t
)
и
Q
k
(
t
)
— диагональные,
с отрицательными элементами, так как
0
≤
ν
r
ijk
≤
1
, а
x
r
ik
(
t
)
≥
0
в
соответствии с системой (2) — положительные монотонно убывающие
функции.
Тогда, ограничиваясь диагональной структурой матрицы
C
k
(
t
) =
= (
c
iik
)
,
i
= 1
,
4
[2] без ограничения общности обеспечения ее стаби-
лизирующих свойств, имеем в соответствии с (25), (26)
D
k
(
t
) = (
d
iik
)
, i
= 1
,
4
.
10 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2012. № 4
